§ 57. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости

Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок постепенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, когда состояние покоя жидкости становится неустойчивым по отношению к сколь угодно малым возмущениям. В результате возникает конвекция, причем переход от режима чистой теплопроводности в неподвижной жидкости к конвективному режиму совершается непрерывным образом. Поэтому зависимость числа Нуссельта от 52 при этом переходе не испытывает скачка, а лишь излом.

Теоретическое определение критического значения должно производиться по схеме, уже объясненной в § 26. Повторим ее здесь применительно к данному случаю.

Представим Т и в виде

где Т и относятся к неподвижной жидкости, а и w — возмущение. удовлетворяют уравнениям

Из первого имеем где А — постоянная; в интересующем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная

В уравнениях (56,4-5) малыми величинами являются v (невозмущенная скорость отсутствует), .

Опустив квадратичные члены и рассматривая возмущения, зависящие от времени как получим уравнения:

Целесообразно записать эти уравнения в безразмерном виде, введя следующие единицы измерения всех фигурирующих в них величин: для длины, частоты, скорости, давления и температуры это будут соответственно Ниже в этом параграфе (а также в задачах к нему) все буквы обозначают соответствующие безразмерные величины. Уравнения принимают вид:

( — единичный вектор в направлении оси , — вертикально вверх). Здесь ясно выступают безразмерные параметры . Если граничащие с жидкостью твердые поверхности поддерживаются при постоянных температурах, то на них должны выполняться условия

Уравнения (57,2-4) с граничными условиями (57,5) определяют спектр собственных частот При их мнимые части и возмущения затухают. Значение определяется моментом, когда (по мере увеличения ) впервые появляется собственное значение частоты с при значение у проходит через нуль.

Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жидкости обладает той спецификой, что все собственные значения вещественны, так что возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями (57,5) на ее стенках.

Умножим уравнения (57,2) и (57,3) соответственно на v и и проинтегрируем их по объему полости. Проинтегрировав члены по частям и заметив, что интегралы по поверхности полости обращаются в нуль в силу граничных условий, получим:

Вычитая из этих равенств их комплексно-сопряженные, находим!

Наконец, умножив второе равенство на 01 и сложив с первым, получим:

В виду существенной положительности интеграла, отсюда следует искомый результат Отметим, что при (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает интеграл мог бы обращаться в нуль и могло бы быть комплексным.

Вернемся к равенствам (57,6). Умножив теперь второе на и сложив с первым, получим для инкремента следующее выражение:

где J и N обозначают интегралы

(функции предполагаются вещественными). Как известно, задача о собственных значениях самосопряженных линейных дифференциальных операторов допускает вариационную формулировку, основанную именно на выражении вида (57,7-8). Рассматривая и N как функционалы по отношении к функциям , потребуем экстремальности при дополнительных условиях последнее играет роль «условия нормировки». По общим правилам вариационного исчисления, составляем вариационное уравнение

где константа у и функция играют роль лагранжевых неопределенных множителей. Вычислив входящие сюда вариации (произведя при этом интегрирования по частям с учетом граничных условий (57,5)) и приравнивая нулю выражения при независимых вариациях действительно получим уравнения (57,2-3). Значение вычисленное по поставленной таким образом вариационной задаче, определяет согласно (57,7) наименьшее значение т. е. инкремент наиболее быстро усиливающихся (или декремент наименее быстро убывающих — в зависимости от знака у) возмущений.

По смыслу его вывода, критическое значение определяет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвижной жидкости оказывается, что это число является в тоже время границей устойчивости по отношению к любым конечным возмущениям. Другими словами, при не существует никаких незатухающих со временем решений уравнений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это (В. С. Сорокин, 1954).

Для конечных возмущений уравнения движения должны быть написаны в виде

(57,10)

отличающемся от (57,2-3) нелинейными членами. Проделаем с этими уравнениями в точности те же операции, которые были произведены выше с уравнениями (57,2-3) при выводе соотношений (57,6) и (57,7).

Ввиду равенства нелинейные члены сводятся к полным дивергенциям:

и при интегрировании выпадают. Поэтому мы получим в результате соотношение

отличающееся от равенства лишь тем, что вместо произведения теперь стоит производная по времени. В силу сформулированного выше вариационного принципа, для любых функций будет Поэтому

откуда

(57,11)

Но в подкритической ) области все полученные по линейной теории инкременты, в том числе наибольший из них отрицательны. Поэтому из (57,11) следует, что при , а ввиду существенной положительности подынтегрального выражения в N стремятся к нулю также и сами функции .

Вернемся к вопросу о вычислении Поскольку все собственные значения вещественны, то равенство при означает, что и Значение определяется тогда как наименьшее из собственных значений параметра 91 в системе уравнений

(57,12)

(эта задача тоже допускает вариационную формулировку — см. задачу 2). Обратим внимание на то, что ни сами уравнения (57,12), ни граничные условия к ним не содержат числа Р. Поэтому и определяемое ими критическое число Рэлея для заданной конфигурации жидкости и твердых стенок не зависит от вещества жидкости.

Наиболее простой и в то же время теоретически важной является задача об устойчивости слоя жидкости между двумя неограниченными горизонтальными плоскостями, из которых верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем нижняя.

Для этой задачи удобно привести систему (57,12) к одному уравнению. Применив к первому уравнению операцию , взяв затем его -компоненту и воспользовавшись двумя другими уравнениями, получим:

(57,13)

- двухмерный лапласиан). Граничные условия на обоих плоскостях:

(последнее эквивалентно, ввиду уравнения непрерывности, условиям при всех . Ввиду второго из уравнений (57,12) условия для можно заменить условиями для высших производных от :

Ищем в виде

(57,14)

(где к — вектор в плоскости и получаем для уравнение

Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций где

с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и определяют зависимости Обратные функции имеют минимум при определенных значениях наименьший из этих минимумов и дает значение

Оно оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа в единицах (Н. Jeffreys, 1908).

Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h с направленным вниз градиентом температуры А становится неустойчивым при

(57,15)

При в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскости Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движения допускают в (57,14) любую функцию удовлетворяющую уравнению Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому, должна осуществляться «двухмерная» структура движения, в которой на плоскости имеется лишь одномерная периодичность — система параллельных полос.