§ 43. Турбулентное течение в трубах

Применим теперь полученные результаты к турбулентному течению жидкости по трубе. Вблизи стенок трубы (на расстояниях, малых по сравнению с ее радиусом а) ее поверхность можно приближенно рассматривать как плоскую и распределение скоростей должно описываться формулой (42,7) или (42,8). Однако ввиду медленного изменения функции можно с логарифмической точностью применить формулу (42,7) и к средней скорости U течения жидкости в трубе, написав в этой формуле вместо у радиус а трубы:

Под скоростью U мы будем подразумевать количество (объем) жидкости, протекающей в 1 с через сечение трубы, деленное площадь этого сечения:

Для того чтобы связать скорость U с поддерживающим течение перепадом давления — разность давлений на концах трубы с длиной замечаем следующее. Действующая на все сечение потока жидкости в трубе движущая сила есть . Эта сила идет на преодоление трения о стенки.

Поскольку отнесенная к единице площади стенки сила трения есть то полная сила трения равна Приравнивая оба выражения, находим:

Уравнения (43,1) и (43,2) определяют в параметрическом виде (параметром является и») связь скорости течения жидкости по трубе с перепадом давления в ней. Об этой связи говорят обычно как о законе сопротивления трубы. Выражая у» через из (43,2) и подставляя в (43,1), получаем закон сопротивления в виде уравнения

Обычно в этой формуле вводят так называемый коэффициент сопротивления трубы, являющийся безразмерной величиной и определяющийся как отношение

Зависимость X от безразмерного числа Рейнольдса определяется неявным образом уравнением

Мы поставили здесь для и значение (42,3) и прибавили к логарифму эмпирическую численную постоянную. Определяемый этой формулой коэффициент сопротивления является медленно убывающей функцией числа Рейнольдса. Для сравнения приведем закон сопротивления при ламинарном течении в трубе. Вводя в формулу (17,10) коэффициент сопротивления, получаем:

При ламинарном течении коэффициент сопротивления падает с ростом числа Рейнольдса быстрее, чем при турбулентном течении.

На рис. 32 изображен (в логарифмическом масштабе) график зависимости X от R. Круто спадающая прямая соответствует ламинарному режиму (формула (43,6)), а более полотая кривая (практически тоже близкая к прямой) — турбулентному течению.

Переход с первой на вторую происходит по мере увеличения числа Рейнольдса в момент турбулизации течения, который может наступить при различных значениях R в зависимости от конкретных условий течения (от степени «возмущенности» потока); в момент перехода коэффициент сопротивления резко возрастает.

Рис. 32

Написанные выше формулы относятся к трубам с гладкими стенками. Аналогичные формулы для труб с сильно шероховатыми стенками получаются просто заменой на d (ср. (42,13)). Для закона сопротивления получим теперь вместо (43,3) формулу

Под знаком логарифма стоит теперь постоянная величина, не содержащая перепада давления, как это было в (43,3). Мы видим, что средняя скорость течения теперь просто пропорциональна квадратному корню из градиента давления в трубе. Если ввести коэффициент сопротивления, то формула (43,7) примет вид

т. e. — постоянная величина, не зависящая от числа Рейнольдса.