§ 75. Возбуждение звука турбулентностью

Турбулентные пульсации скорости тоже являются источником возбуждения звука в окружающем объеме жидкости. В этом параграфе будет изложена общая теория этого явления (М. J. Lighthiil, 1952). Будет рассматриваться ситуация, когда турбулентность занимает конечную область , окруженную неограниченным объемом неподвижной жидкости. При этом самая турбулентность рассматривается в рамках теории несжимаемой жидкости — вызываемым пульсациями изменением плотности пренебрегаем; это значит, что скорость турбулентного движения предполагается малой по сравнению со скоростью звука (как это предполагалось и во всей главе III).

Начнем с вывода общего уравнения, учитывающего, наряду с движением в звуковых волнах, также и движение жидкости в турбулентной области. Отличие от произведенного в § 64 вывода состоит лишь в том, что должен быть сохранен нелинейный член — хотя скорость v мала по сравнению с с, но она велика по сравнению со скоростью жидкости в звуковой волне. Поэтому вместо (64,3) пишем:

Применив к этому уравнению операцию и используя уравнение (64,5)

получим:

Правую сторону этого уравнения можно преобразовать с помощью уравнения непрерывности (турбулентность рассматривается как несжимаемая!): можно вынести знак дифференцирования по из-под скобок. Окончательно пишем:

(индекс у снова опускаем). Вне турбулентной области выражение в правой стороне этого уравнения представляет собой малую величину второго порядка и может быть опущено, так что мы возвращаемся к волновому уравнению распространения звука. Правая же сторона, отличная от нуля в объеме играет роль источника звука. В этом объеме v — скорость турбулентного движения.

Уравнение (75,1) — типа уравнения запаздывающих потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее исходящее от источника излучение, есть

(75,2)

(см. II, § 62). Здесь — радиус-вектор точки наблюдения, — бегущей точки в области интегрирования, подынтегральное выражение берется в «запаздывающий» момент времени Интегрирование в (75,2) фактически производится лишь по объему в котором подынтегральное выражение отлично от нуля.

Основная часть энергии турбулентного движения заключена в частотах отвечающих основному масштабу турбулентности I; — характерная скорость движения (см. § 33). Таковы же будут, очевидно, и основные частоты в спектре излучаемых звуковых волн. Соответствующие же длины волн

Для определения интенсивности излучения достаточно рассмотреть звуковое поле на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны К (в «волновой зоне»), эти расстояния велики и по сравнению с линейными размерами источника — турбулентной области. Множитель в подынтегральном выражении в этой зоне можно заменить множителем и вынести его из-под знака интеграла расстояние точки наблюдения до начала координат, выбранного где-либо внутри источника); тем самым мы пренебрегаем членами, убывающими быстрее, чем которые все равно не дают вклада в интенсивность уходящих на бесконечность волн. Таким образом,

Производные в подынтегральном выражении берутся до взятия значения при т. е. только по первому аргументу функций Эти производные можно заменить производными от функций взятыми по обоим аргументам, вычитая из них каждый раз производные по второму аргументу. Первые представляют собой полные дивергенции и интегралы от них, будучи преобразованы в интегралы по удаленным замкнутым поверхностям, обращаются в ноль, поскольку вне турбулентной области . Производные же по «текущим» координатам входящим в состав аргумента можно заменить производными по координатам точки наблюдения, поскольку входят только в виде разности

Таким образом, приходим к выражению

Время отличается от времени на интервал Но такой интервал времени мал по сравнению с периодами основных турбулентных пульсаций. Это позволяет заменить аргумент в подынтегральном выражении Производя после этого дифференцирование под знаком интеграла, и заметив, что ( — единичный вектор в направлении ), получим:

где точка означает дифференцирование по .

Тензор как и всякий симметричный тензор с неравным нулю следом, может быть представлен в виде

(75,6)

где — «неприводимый» тензор с равным нулю следом, a Q — скаляр. Тогда сферическая волна (75,5) разобьется на сумму двух членов

из которых первый представляет собой излучение монопольного, а второй — квадрупольного источника.

Вычислим полную интенсивность излучения. Плотность потока звуковой энергии в волновой зоне направлена в каждой точке вдоль направления , а по величине равна Полная интенсивность получается умножением q на и интегрированием по всем направлениям . Фактически нас интересует, однако, не мгновенное пульсирующее значение интенсивности, а ее усредненное по времени значение (турбулентность предполагается при этом «стационарной»).

Эту последнюю операцию осуществляем, написав квадрат интегралов в виде двойных интегралов и производя усреднение (которое обозначаем угловыми скобками) под знаком интегралов. В результате получим следующий результат:

«Перекрестное» произведение двух членов в (75,7) при интегрировании по направлениям выпадает, так что полная интенсивность оказывается равной сумме монопольного и квадрупольного излучений. Обе эти части в данном случае — вообще говоря, одинакового порядка величины.

Оценим этот порядок величины (вернее — выясним зависимость от параметров турбулентного движения). Компоненты тензора , где — характерная скорость турбулентного движения. Каждое дифференцирование по времени умножает этот порядок величин на характерную частоту Поэтому Корреляция между скоростями турбулентных пульсаций в различных точках простирается на расстояния Поэтому количество энергии, испускаемой в виде звука единицей массы турбулентной среды в единицу времени

Интенсивность излучения пропорциональна, таким образом, восьмой степени скорости турбулентного движения.

Турбулентное движение поддерживается за счет мощности, подводимой от некоторого внешнего источника. В «стационарном» случае эта мощность совпадает с диссипируемой в единицу времени энергией. Отнесенная к единице массы, эта последняя . Акустический коэффициент полезного действия можно определить как отношение излучаемой мощности к диссипируемой:

Стоящая здесь высокая степень отношения приводит к тому, что при эффективность турбулентности как излучателя звука низка.