§ 126. Околозвуковой закон подобия

Развитая в §§ 123—125 теория сверх- и дозвуковых обтеканий тонких тел неприменима в случае околозвукового движения, когда становится несправедливым линеаризованное уравнение для потенциала. В этом случае картина течения во всем пространстве определяется нелинейным уравнением (114,10):

(или, при плоском движении, эквивалентным ему уравнением Эйлера Трикоми). Решение этих уравнений для конкретных случаев, однако, весьма затруднительно. Поэтому существенный интерес представляют правила подобия, которые можно установить для таких течений, не прибегая к их конкретному решению. Рассмотрим сначала плоское течение, и пусть

(126,2)

есть уравнение, определяющее форму обтекаемого тонкого контура, причем есть его длина (в направлении обтекания), а характеризует его толщину (). Изменением двух параметров получим семейство подобных контуров.

Уравнение движения гласит:

со следующими граничными условиями. На бесконечности скорость равна скорости невозмущенного потока, т. е.

(см. определение потенциала согласно (114,9)). На профиле же скорость должна быть направлена по касательной к нему:

ввиду тонкости профиля можно требовать выполнения этого условия при

Введем новые безразмерные переменные согласно

(мы ввели угол характеризующий «угол раствора» тела или угол атаки). Тогда мы получим уравнение

с граничными условиями

где

Эти условия содержат лишь один параметр: К. Таким образом, мы получили искомый закон подобия: плоские околозвуковые течения с одинаковыми значениями числа К подобны, как это устанавливается формулами (126,6) (С. В. Фалькович, 1947).

Обратим внимание на то, что в выражение (126,7) входит также и единственный параметр а, характеризующий свойства самого газа. Поэтому полученное правило определяет также и подобие по изменению рода газа.

В условиях рассматриваемого приближения давление определяется формулой

Вычисление с помощью выражений (126,6) показывает, что коэффициент давления на профиль будет функцией вида

Коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы определяются интегралами по контуру профиля:

и, следовательно, являются функциями вида

(126,8)

Совершенно аналогичным образом можно получить закон подобия для трехмерного обтекания тонкого тела, форма которого задается уравнениями вида

(126,9)

с двумя параметрами . Существенное отличие плоского случая связано с тем, что потенциал имеет при логарифмическую особенность (см., например, формулы обтекания тонкого конуса в § 113).

Поэтому граничное условие на оси должно определять не сами производные а остающиеся конечными произведения:

Легко убедиться в том, что преобразованием подобия в этом случае является (снова вводим угол )

(126,10)

причем параметр подобия

(Т. Кагтап, 1947). Для коэффициента давления на поверхность тела получим выражение вида

а для коэффициента силы сопротивления соответственно

(126,12)

Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым положительным, так и к малым отрицательным значениям Если в точности то параметр подобия и функции в формулах (126,8) и (126,12) сводятся к постоянным, так что эти формулы полностью определяют зависимость от угла и свойств газа а.