§ 38. Теорема Жуковского

Описанный в конце предыдущего параграфа характер распределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к исключительным случаям, когда толщина образующегося за телом следа очень мала по сравнению с его шириной. Такой след образуется при обтекании тел, толщина которых (в направлении оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении z (длина же в направлении обтекания — оси — может быть произвольной). другими словами, речь идет об обтекании тел, поперечное (к направлению движения) сечение которых обладает сильно вытянутой в одном направлении формой. Сюда относятся, в частности, обтекания крыльев — тел, размах которых велик по сравнению со всеми остальными их размерами.

Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины следа.

Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, предполагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует.

Рассмотрим вертикальную подъемную силу развивающуюся при таком обтекании. Согласно формуле (21,2) она определяется интегралом

причем ввиду характера распределения скорости интегрирование в данном случае должно производиться по всей поперечной плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала, а скорость внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой же скоростью вне следа, то в рассматриваемом случае можно с достаточной точностью ограничиться при интегрировании по интегрированием только по области вне следа, т. е. написать:

где — координаты границ следа (рис. 26).

Рис. 26

Но вне следа движение потенциально и имея в виду, что на бесконечности получаем поэтому

где — значения потенциала на обеих сторонах следа; можно сказать, что есть скачок потенциала на поверхности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же касается производных от то производная должна оставаться непрерывной. Скачок нормальной к поверхности следа компоненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсутствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тангенциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной от отсюда следует, что должна быть непрерывна и производная

Производная же скорость в направлении размаха крыла — испытывает, вообще говоря, скачок.

Ввиду непрерывности производной скачок есть величина, зависящая только от , но не от координаты вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы следующую формулу:

Интегрирование по распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, ).

Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от градиента скаляра можно написать разность в виде криволинейного интеграла

взятого по контуру, выходящему из точки у 1, огибающему тело и приходящему в точку проходя, таким образом, везде в области потенциального движения. А благодаря тонкости следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким отрезком от до превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая посредством Г циркуляцию скорости по замкнутому контуру С, охватывающему тело (рис. 26):

получаем для подъемной силы формулу

Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода контура в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле (38,3) связан также и с выбором направления обтекания: мы предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направлении оси (поток натекает слева направо).

Устанавливаемая формулой (38,4) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание теоремы Н. Е. Жуковского (1906). К применению этой теоремы к хорошо обтекаемым крыльям мы вернемся еще в § 46.