§ 25. Затухание гравитационных волн

Рассуждения, аналогичные вышеизложенным, могут быть проведены по поводу распределения скоростей вблизи свободной поверхности жидкости. Рассмотрим колебательное движение, происходящее у поверхности жидкости (например, гравитационные волны). Предположим, что выполняются условия (24,11), в которых теперь роль размеров играет длина волны :

( — амплитуда волны, — ее частота). Тогда можно утверждать, что решение будет вихревым лишь в тонком слое у поверхности жидкости, а в основном ее объеме движение будет потенциальным — таким, каким оно было бы у идеальной жидкости.

Движение вязкой жидкости должно удовлетворять у свободной поверхности граничным условиям (15,16), требующим исчезновения определенных комбинаций производных от скорости по координатам. Движение же, получающееся в результате решения уравнений гидродинамики идеальной жидкости, этому условию не удовлетворяет.

Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для скорости , мы можем заключить, что в тонком слое у поверхности жидкости соответствующие производные скорости будут быстро уменьшаться. Существенно отметить, что градиент скорости не будет при этом аномально большим, как это имело место вблизи твердой поверхности.

Вычислим диссипацию энергии в гравитационной волне. Здесь надо говорить не о диссипации кинетической энергии, а о диссипации механической энергии Емех, включающей в себя наряду с кинетической также и потенциальную энергию в поле тяжести. Ясно, однако, что на обусловленную процессами внутреннего трения в жидкости диссипацию энергии не может влиять факт наличия или отсутствия поля тяжести. Поэтому определяется той же формулой (16,3):

При вычислении этого интеграла для гравитационной волны надо заметить, что поскольку объем поверхностного слоя вихревого движения мал, а градиент скорости в нем не аномально велик, фактом наличия этого слоя можно пренебречь, в противоположность тому, что мы имели в случае колебаний твердой поверхности. Другими словами, интегрирование должно производиться по всему объему жидкости, в котором, как мы видели, жидкость движется как идеальная.

Но движение в гравитационной волне в идеальной жидкости было уже нами определено в § 12. Это движение потенциально, и потому

так что

Потенциал имеет вид

Нас интересует, конечно, не мгновенное, а среднее по времен» значение диссипируемой энергии. Замечая, что средние значения квадратов косинуса и синуса одинаковы, получим:

Что касается самой энергии гравитационной водны, то для ее вычисления можно воспользоваться известным из механики обстоятельством, что у всякой системы, совершающей малые колебания (колебания с малой амплитудой), средняя кинетическая и потенциальная энергии равны друг другу.

На этом основании можно написать просто как удвоенную кинетическую энергию:

откуда

Затухание волн удобно характеризовать коэффициентом затухания у, определенным как отношение

С течением времени энергия волны падает по закону что касается амплитуды волны, то, поскольку энергия пропорциональна ее квадрату, закон ее уменьшения со временем определяется множителем

С помощью (25,2-3) находим:

Подставляя сюда (12,7), получим коэффициент затухания гравитационных волн в виде