§ 127. Гиперзвуковой закон подобия

Для обтекания тонких заостренных тел с большими сверхзвуковыми скоростями (большие ) линеаризованная теория неприменима, как это уже было упомянуто в конце § 114. Поэтому представляет особый интерес простое правило подобия, которое можно установить для таких течений (их называют гиперзвуковыми).

Возникающие при таком обтекании ударные волны наклонены к направлению движения под малым углом — порядка величины отношения толщины тела к его длине. Эти волны, вообще говоря, искривлены и в то же время обладают большой интенсивностью — хотя скачок скорости на них относительно мал, но скачок давления (а с ним и энтропии) велик. Поэтому течение газа в общем случае отнюдь не является потенциальным.

Будем считать, что число — порядка величины 1/0 или больше. Ударная волна понижает значение местного числа М, но оно во всяком случае остается порядка величины (ср. задачу 2 § 112), так что число М велико во всем пространстве.

Воспользуемся указанной в § 123 «звуковой аналогией»: трёхмерная задача о стационарном обтекании тонкого тела с переменным сечением эквивалентна нестационарной двухмерной задаче об излучении звуковых волн контуром, площадь которого меняется со временем по закону роль скорости звука играет при этом величина ( или при больших просто Подчеркнем, что единственное условие, обеспечивающее эквивалентность обеих задач, заключается в малости отношения , что дает. возможность рассматривать небольшие вдоль длины тела кольцевые участки его поверхности как цилиндрические. При больших однако, скорость распространения излучаемых волн сравнима по величине со скоростью частиц газа в них (ср. конец § 123), и потому задача должна решаться на основе точных, нелинеаризованных уравнений.

Возмущение скорости (по сравнению со скоростью натекающего потока) мало уже при всяком сверхзвуковом обтекании тонкого заостренного тела. При гиперзвуковом обтекании дополнительно еще возмущение продольной скорости мало по сравнению с возникающими поперечными скоростями:

(127,1)

Изменения же давления и плотности отнюдь не малы:

(127,2)

причем изменение давления может быть даже (при сколь угодно большим (ср. задачу 2 § 112).

Звуковая аналогия относится, очевидно, только к двухмерной задаче о движении в плоскости у, z, перпендикулярной направлению натекающего потока. В этой двухмерной задаче линейная скорость источника звука — порядка величины кроме нее в задачу входят в качестве независимых параметров еще только скорость звука и размеры источника (и параметр плотности ).

Из них можно составить всего одну безразмерную комбинацию

(127,3)

которая и является критерием подобия. В качестве масштабов длины для координат у, z и масштаба времени надо при этом взять величины соответствующей размерности, составленные из тех же параметров, например, естественным же параметром для координаты является длина тела I. Тогда можно утверждать, что

(127,4)

где — функции безразмерных переменных и параметра при этом в виду (127, 1—2) можно утверждать, что эти функции — порядка единицы.

Сила сопротивления вычисляется как интеграл

взятый по всей поверхности тела (в силу граничного условия член ) в плотности потока импульса обращается в нуль на поверхности тела; n — нормаль к. этой поверхности). Перейдя к безразмерным переменным согласно (127,4), получим коэффициент сопротивления (определенный согласно (123,6)) в виде

Оставшийся интеграл — функция безразмерного параметра К. Таким образом,

(127,5)

Такой же самый закон подобия получается, очевидно, и в плоском случае — для обтекания тонкого крыла бесконечной протяженности. Для коэффициентов сопротивления и подъемной силы получаются при этом формулы вида

(127,6)

При применении законов (127,5-6) следует помнить, что подобие течений предполагает, что форма, размеры и ориентация обтекаемых тел относительно натекающего потока получаются друг из друга только изменением масштаба вдоль осей у, z и масштаба вдоль оси

Это значит, в частности, что если отличен от нуля угол атаки а, то для подобных конфигураций отношение должно быть одинаковым.

При функции этого параметра в (127,5-6) стремятся к постоянным пределам. Это утверждение является следствием существования предельного (при ) режима обтекания, свойства которого в существенной области течения не зависят от (С. В. Валландер, 1947; К. Oswatitsch, 1951). Под «существенной» подразумевается область течения между передней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и поверхностью обтекаемого тела, не слишком далеко от его передней части (подчеркнем, что именно эта область, с наибольшим давлением, определяет действующие на тело силы). Если описывать течение «приведенными» скоростью давлением и плотностью как функциями безразмерных координат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной области оказывается в пределе независящей от Дело в том, что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются независящими от не только гидродинамические уравнения и граничные условия на поверхности обтекаемого тела, но и все условия на поверхности ударной волны. Ограничение области движения «существенной» частью связано с тем, что пренебрегаемые в последних условиях величины — относительного порядка где — угол между и поверхностью разрыва; на больших расстояниях, где интенсивность ударной волны мала, этот угол стремится к углу Маха так что параметр разложения перестает быть малым:

Рис. 130