Главная > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 53. Закон подобия для теплопередачи

Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по сравнению с теплопередачей в твердых телах возможностью движения жидкости. Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело охлаждается значительно быстрее, чем в неподвижной жидкости, где теплопередача происходит только с помощью процессов теплопроводности. О движении неравномерно нагретой жидкости говорят как о конвекции.

Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свойства можно было считать не зависящими от температуры. С другой стороны, эти разности будут предполагаться настолько большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделением тепла, связанным с диссипацией энергии путем внутреннего трения (см. § 55). Тогда в уравнении (50,2) может быть опущен член, содержащий вязкость, так что остается

где — температуропроводность. Это уравнение вместе с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности полностью описывает конвекцию в рассматриваемых условиях.

Ниже мы будем рассматривать стационарное конвективное движение. Тогда все производные по времени выпадают, и мы получаем следующую систему основных уравнений:

В эту систему, в которой неизвестными функциями являются V, Т и , входят всего два постоянных параметра: v и Кроме того, решение этих уравнений зависит, через посредство граничных условий, еще от некоторого характерного параметра длины l, скорости U и характерной разности температур . Первые два определяют, как всегда, размеры фигурирующих в задаче твердых тел и скорость основного потока жидкости, а третий — разность температур между жидкостью и твердыми телами.

При составлении безразмерных величин из имеющихся в нашем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую размерность следует приписать температуре. Для этого замечаем, что температура определяется уравнением (53,2), являющимся линейным и однородным по Т. Поэтому температура может быть умножена без нарушения уравнений на произвольный постоянный множитель. Другими словами, единицы для измерения температуры могут быть выбраны произвольным образом. Возможность такого преобразования температуры может быть учтена формально посредством приписывания ей некоторой особой размерности, которая бы не входила в размерности остальных величин. Таковой является как раз размерность градуса — единицы, в которой температура обычно и измеряется.

Таким образом, конвекция характеризуется в рассматриваемых условиях пятью параметрами со следующими размерностями:

Из них можно составить две независимые безразмерные комбинации. В качестве таковых мы выберем число Рейнольдса и число Прандтля, определяемое как отношение

Всякая другая безразмерная величина может быть выражена через R и Р.

Что касается числа Прандтля, то оно представляет собой просто некоторую материальную константу вещества и не зависит от свойств самого потока. У газов это число — всегда порядка единицы. Значения же Р для различных жидкостей лежат в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может достигать очень больших значений. Приведем в качестве примера значения Р при 20 °С для ряда веществ:

ртуть

Подобно тому как было сделано в § 19, мы можем теперь заключить, что в стационарном конвекционном потоке (заданного типа) распределение температуры и скорости имеет вид

Безразмерная функция, определяющая распределение температуры, зависит как от параметров от обоих чисел R и Р; распределение же скоростей — только от числа R, поскольку оно определяется уравнениями (53,3), в которые теплопроводность не входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если их числа Рейнольдса и Прандтля одинаковы.

Теплопередачу между твердыми телами и жидкостью характеризуют обычно так называемым коэффициентом теплопередачи а, определяемым как отношение

где q — плотность потока тепла через поверхность тела, — характерная разность температур твердого тела и жидкости. Если распределение температуры в жидкости известно, то коэффициент теплопередачи легко определить, вычисляя плотность потока тепла на границе жидкости (производная берется по нормали к поверхности тела).

Коэффициент теплопередачи является размерной величиной. В качестве безразмерной величины, характеризующей теплопередачу, пользуются числом Нуссельта

Из соображений подобия следует, что для каждого данного типа конвекционного движения число Нуссельта является определенной функцией только от чисел Рейнольдса и Прандтля:

Эта функция приобретает тривиальный вид при конвекции с достаточно малыми числами Рейнольдса.

Малым R соответствуют малые скорости движения. Поэтому в первом приближении в уравнении (53,2) можно пренебречь членом, содержащим скорость, так что распределение температуры определяется уравнением т. е. обычным уравнением стационарной теплопроводности в неподвижной среде. Коэффициент теплопередачи не может, очевидно, зависеть теперь ни от скорости, ни от вязкости жидкости и потому должно быть просто

(53,9)

причем при вычислении этой постоянной можно рассматривать жидкость как неподвижную.

Задача

Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазейлевское течение по трубе кругового сечения, температура стенки которой меняется вдоль длины трубы по линейному закону.

Решение. Условия течения одинаковы во всех сечениях трубы; и распределение температуры можно искать в виде где температура стенки (выбраны цилиндрические координаты с осью по оси трубы). Для скорости имеем согласно (17,9)

где v — средняя скорость. Подставляя это в (53,2), находим уравнение

Решение этого уравнения, не имеющее особенностей при и удовлетворяющее условию при , есть

Плотность потока тепла

Она не зависит от теплопроводности.

1
Оглавление
email@scask.ru