Задачи

1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой. В начальный моментвремени поршень начинает вдвигаться в трубу с постоянной скоростью U. Определить возникающее движение газа (считая газ политропным).

Рис. 75

Решение. Перед поршнем возникает ударная волна, передвигающаяся вперед по трубе. В начальный момент времени положения этой волны и поршня совпадают, а в дальнейшем волна «обгоняет» поршень и возникает область газа между ней и поршнем (область 2). В области впереди от ударной волны (область 1) давление газа равно его первоначальному значению а скорость (относительно трубы) равна нулю. В области же 2 газ движется с постоянной скоростью, равной скорости поршня U (рис. 75). Разность скоростей газов и 2 равна, следовательно, тому же U и согласно формулам (85.7) и (89,1) можно написать:

Отсюда получаем для давления газа между поршнем и ударной волной

Зная можно вычислить согласно формулам (89,4) скорость ударной волны отнбсительно газов впереди и позади нее. Поскольку газ 1 покоится, то скорость волны относительно него есть скорость ее распространения по трубе. Если координата вдоль длины трубы отсчитывается от начального места нахождения поршня (причем газ находится со стороны то для положения ударной волны в момент t получим:

(положение же поршня есть ).

2. То же, если поршень выдвигается из трубы со скоростью U. Решение. К поршню примыкает область газа на рис. 76, а), движущегося в отрицательном направлении оси с постоянной скоростью — равной скорости поршня. Далее следует волна разрежения 2, в которой газ движется в отрицательном направлении оси со скоростью, меняющейся от значения —U до нуля по линейному закону (99,17). Давление же меняется по закону (99,16) от значения

в газе до в неподвижном газе 3. Граница области 2 с областью 1, определяется условием согласно (99,17) получим:

(с — скорость звука в газе ). На границе же с областью 3 откуда Обе эти границы представляют собой слабые разрывы, из которых второй всегда распространяется вправо (т. е. в сторону от поршня); первый же (граница 1—2) может распространяться как вправо (как это изображено на рис. 76,а), так и влево — если скорость поршня

Рис. 76

Описанная картина может иметь место только при условии Если же то перед поршнем образуется область вакуума (газ как бы не успевает двигаться за поршнем), простирающаяся от поршня до точки с координатой на рис. 76, б). В этой точке за ней следует область 2, в которой скорость падает до нуля (в точке ), а дальше область 3 неподвижного газа.

3. Газ находится в цилиндрической трубе, не ограниченной с одной стороны и закрытой заслонкой с другой . В момент времени заслонка открывается, и газ выпускается в наружную среду, давление которой меньше первоначального давления в трубе. Определить возникающее движение газа.

Решение. Пусть есть скорость газа, соответствующая по формуле (99,16) внешнему давлению при должно быть Если получается картина распределения скорости, изображенная на рис. 77, а.

При (что соответствует скорости вытекания, равной местной скорости звука на выходе трубы, — в этом легко убедиться, положив v — с в формуле (99,14)) область постоянной скорости

исчезает и получается картина, изображенная на рис. 77, б. Величина — представляет собой наибольшую возможную скорость вытекания газа из трубы в рассматриваемых условиях. Если внешнее давление

то соответствующая ему скорость сделалась бы больше, чем В действительности при этом давление на выходе трубы будет продолжать оставаться равным предельному значению (1), а скорость вытекания — равной остальное падение давления (до ) происходит во внешней среде.

Рис. 77

4. Бесконечная труба перегорожена поршнем, по одну сторону от которого в начальный момент времени находится газ под давлением а по другую сторону — вакуум. Определить движение поршня под влиянием расширяющегося газа.

Решение. В газе возникает волна разрежения, одна из границ которой перемещается вместе с поршнем вправо, а другая — влево. Уравнение движения поршня

(-скорость поршня, т — масса, приходящаяся на единицу его площади). Интегрируя, получим:

5. Определить движение в изотермической автомодельной волне разрежения.

Решение. Изотермическая скорость звука

и при постоянной температуре . Согласно (99,5-6) находим поэтому:

6. С помощью уравнения Бюргерса (§ 93) определить связанную с диссипацией структуру слабого разрыва между волной разрежения и неподвижным газом.

Решение. Пусть неподвижный газ находится слева, а волна разрежения — справа от слабого разрыва (тогда последний движется влево).

Без учета диссипации, в первой из этих областей имеем а во второй движение описывается уравнениями (с обратным знаком перед с), при чем вблизи разрыва скорость v мала; с точностью до членов первого порядка по v имеем

где а определено в (102,2), а индекс 0 указывает значения величин при (ниже этот индекс опускаем).

С точностью до величин второго порядка малости скорость в волне, распространяющейся влево, подчиняется полученному в задаче 1 § 93 уравнению (6), или уравнению Бюргерса

где , а неизвестная выражена в функции от t и переменная измеряет расстояние от слабого разрыва в каждый момент времени t. Требуется найти непрерывное решение этого уравнения с граничными условиями

отвечающими движению без учета диссипации. В соответствии с законом расширения слабого разрыва (96,1), переменная t должна входить в решение в комбинации с переменной Такое решение может удовлетворять поставленным граничным условиям, если

Функция связана с введенной в задаче 2 § 93 функцией соотношением

так что зависит только от , причем

Уравнение (3) указанной задачи принимает вид откуда

Решение, удовлетворяющее граничным условиям:

или окончательно для скорости :

чем и определяется структура слабого разрыва.