Задачи

1. Теплоемкость и теплопроводность среды — степенные функции температуры, а ее плотность постоянна. Определить закон обращения температуры в нуль вблизи границы области, до которой в данный момент распространялось тепло из некоторого произвольного источника; вне этой области температура равна нулю.

Решение. Если — степенные функции температуры, то то же самое относится к температуропроводности и к тепловой функции (постоянный член в w опускаем). Поэтому можно написать где посредством мы обозначили тепловую функцию единицы объема среды. Тогда уравнение теплопроводности

приобретет вид

В течение небольшого интервала времени малый участок границы можно считать плоским, а скорость его перемещения в пространстве v — постоянной. Соответственно этому ищем решение уравнения (1) в виде где — координата в перпендикулярном к границе направлении. Имеем:

откуда после двукратного интегрирования находим следующий закон обращения W в нуль:

где — расстояние от границы нагретой области. В то же время этим подтверждается вывод о наличии границы нагретой области (вне которой W, а с ней и Т равны нулю), если показатель Если , то уравнение (2) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, т. е. тепло распределено в каждый момент по всему пространству.

2. В той же среде в начальный момент времени в плоскости сконцентрировано количество тепла, равное (будучи отнесено к единице площади) Q, а в остальном пространстве Определить распределение температуры в последующие моменты времени.

Решение. В одномерном случае уравнение (1) гласит:

Из имеющихся в нашем распоряжении параметров Q и а и переменных можно составить лишь одну безразмерную комбинацию:

( имеют размерность соответственно Поэтому искомая функция должна иметь вид

где безразмерная функция умножена на величину, имеющую размерность

После этой подстановки уравнение (4) дает

Это уравнение в полных производных имеет простое решение, удовлетворяющее условиям задачи:

где — постоянная интегрирования.

При формула дает распределение температуры в области между границами определяющимися равенством вне этих границ Отсюда следует, что границы нагретой области расширяются со временем по закону

Постоянная определяется условием постоянства полного количества тепла:

откуда получается

При напишем решение в виде

Здесь тепло распределено по всему пространству, причем на больших расстояниях W убывает по степенному закону: Это решение применимо лишь при при нормировочный интеграл (8) (который берется теперь в пределах ) расходится, что физически означает мгновенный уход тепла на бесконечное расстояние. При постоянная в (10) равна

Наконец, при имеем решение, определяемое формулами (5—7), дает

в согласии с формулой (51,7).