§ 99. Одномерное автомодельное движение

Важную категорию одномерных нестационарных движений сжимаемого газа составляют течения, происходящие в условиях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но не длины. Простейший пример такого движения представляет движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, возникающее, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.

Наряду с параметром скорости такое течение определяется ещё и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность газа в начальный момент времени. Однако из всех этих параметров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех величин могут зависеть от координаты и времени t только в виде их отношения имеющего размерность скорости. Другими словами, эти распределения в различные моменты времени будут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль оси увеличивающимся пропорционально времени. Можно сказать, что если измерять длины в единицах, растущих пропорционально t, то картина движения вообще не будет меняться — движение автомодельно.

Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего только от одной координаты гласит:

Считая, что все величины зависят только от переменной и замечая, что при этом

будем иметь означает дифференцирование по .

Отсюда т. е. ; таким образом, автомодельное одномерное движение не только адиабатично, но и изэнтропично. Аналогично из у- и -компонент уравнения Эйлера.

найдем, что постоянны; не ограничивая общности, мы можем положить их в дальнейшем равными нулю.

Далее, уравнение непрерывности и -компонента уравнения Эйлера имеют вид

(здесь и ниже пишем просто v вместо . После введения переменной g они примут вид

(Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении

Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение — однородный поток с постоянной ско ростью. Для нахождения же нетривиального решения исключаем из уравнений и получаем равенство откуда . Мы будем писать это соотношение со знаком плюс:

(выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие для выбора положительного направления оси смысл которого выяснится ниже). Наконец, подставляя в (99,3), получим или . Скорость звука является функцией термодинамического состояния газа; выбрав в качестве основных термодинамических величин энтропию s и плотность , мы можем представить скорость звука в виде функции плотности при заданном постоянном значении энтропий. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании полученного равенства

Эту формулу можно написать также и в виде

где не предрешается выбор независимого переменного.

Формулы (99,5-6) определяют искомое решение уравнений движения. Если функция известна, то по формуле (99,6) вычисляем скорость v как функцию плотности. Уравнение (99,5) определит тогда в неявном виде зависимость плотности от после чего определится зависимость также и всех остальных величин от .

Выясним некоторые общие свойства полученного решения. Дифференцируя уравнение (99,5) по получаем:

Для производной от с имеем с помощью (99,6)

Но

дифференцируя это выражение, получим:

Таким образом:

Из (99,8) следует поэтому, что при будет Замечая, что эаключаем что и наконец, имеем — так что таким образом, имеем неравенства:

Смысл этих неравенств становится более ясным, если следить не за изменением величин вдоль оси (при заданном t), а за их изменением с течением времени у данного передвигающегося в пространстве элемента газа. Эти изменения определяются полными производными по времени; так, для плотности имеем, воспользовавшись уравнением непрерывности:

Согласно третьему из неравенств (99,11) эта величина отрицательна; вместе с ней, разумеется, отрицательна и производная

(99,12)

Аналогичным образом (используя уравнение Эйлера (99,2)) можно убедиться, что ; это, однако, не означает, что абсолютная величина скорости падает со временем, так как у может быть отрицательной.

Неравенства (99,12) показывают, что плотность и давление каждого элемента газа падают по мере его передвижения в пространстве. Другими словами, передвижение газа сопровождается его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое движение можно назвать нестационарной волной разрежения.

Волна разрежения может простираться лишь на конечное расстояние вдоль оси это видно уже из того, что формула (99,5) привела бы при к бессмысленному результату — бесконечной скорости.

Применим формулу (99,5) к плоскости, ограничивающей занимаемую волной разрежения область пространства. При этом будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат. Скорость же ее относительно самого газа есть разность и согласно (99,5) равна как раз местной скорости звука. Это значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных конкретных случаях складывается, следовательно, из волн разрежения и областей постоянного течения, разделенных между собой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься и различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнами).

Сделанный нами выбор знака в формуле (99,5) соответствует, как теперь видно, тому, что эти слабые разрывы предполагаются движущимися относительно газа в положительном направлении оси . Неравенства (99,11) связаны именно с таким выбором; неравенства же (99,12), разумеется, от выбора направления оси вообще не зависят.

Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкретных задач, при которой волна разрежения с одной стороны граничит с областью неподвижного газа.

Пусть эта область на рис. 74) находится справа от волны разрежения. Область II есть волна разрежения, а III - газ, движущийся с постоянной скоростью; стрелками на рисунке показаны направления движения газа и перемещения ограничивающих волну разрежения слабых разрывов (разрыв а движется непременно в сторону покоящегося газа, а разрыв b может двигаться в обоих направлениях в зависимости от величины достигаемой в волне разрежения скорости; ср. задачу 2). Выпишем в явном виде соотношения между различными величинами в такой волне разрежения, предполагая газ политропным. При адиабатическом процессе . Поскольку скорость звука пропорциональна то можно написать это соотношение в виде

(99,13)

Рис. 74

Подставляя это выражение в интеграл (99,6), получаем:

постоянная интегрирования выбрана так, что при (индексом нуль отличаем значения величин в точке, в которой газ покоится). Будем выражать все величины через и, причем надо иметь в виду, что при условленном расположении областей скорость газа направлена в отрицательную сторону оси так что Таким образом:

(99,14)

чем определяется местная скорость звука через скорость газа. Подставляя в (99,13), находим для плотности:

и аналогично для давления

Наконец, подставляя (99,14) в формулу (99,5), получаем:

чем определяется зависимость v от

Величина с не может быть, по самому своему существу, отрицательной.

Поэтому из формулы (99,14) можно сделать существенное заключение, что скорость должна удовлетворять неравенству

(99,18)

при достижении скоростью этого предельного значения плотность газа (а также рис) обращается в нуль. Таким образом, первоначально покоившийся газ при нестационарном расширении в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, не превышающей

Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример автомодельного движения, возникающего в цилиндрической трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разрежение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению может произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу).