§ 119. Решения уравнения Эйлера — Трикоми вблизи неособых точек звуковой поверхности

Выясним теперь, какие решения Ф соответствуют тем случаям, когда в окрестности границы перехода течение газа не обладает никакими физическими особенностями (нет слабых разрывов или ударных волн).

Для этого, однако, удобнее исходить не непосредственно из уравнения Эйлера — Трикоми, а из уравнения для потенциала скорости в физической плоскости. Такое уравнение было выведено в § 114; для плоского движения уравнение (114,10) после введения новой координаты согласно принимает вид

Напомним, что потенциал определен здесь таким образом, что его производные по координатам дают скорость согласно равенствам

Заметим также, что уравнение Эйлера — Трикоми можно получить и непосредственно из уравнения (119,1), переходя к независимым переменным с помощью преобразования Лежандра, причем будет или

Выбрав начало координат х, у в точке звуковой линии, окрестность которой мы исследуем, разложим по степеням х и у. В общем случае первый член разложения, удовлетворяющего уравнению (119,1), есть

(119,4)

(119,5)

По степени однородности этой функции ясно, что ему соответствует одна из функций это есть второй член выражения (118,7), в котором гипергеометрическая функция с сводится просто к 1;

Если мы хотим найти уравнение звуковой линии в физической плоскости, то написанный первый член разложения недостаточен. Следующий член разложения Ф имеет степень однородности 1, т. е. соответствует одной из функций это есть первый член выражения (118,7), сводящийся при к полиному:

Таким образом, первые два члена разложения Ф:

Отсюда

(119,7)

Звуковая линия есть прямая

Для нахождения же уравнения характеристик в физической плоскости достаточен первый член разложения. Подставляя в уравнение годографических характеристик получим:

т. е. снова две ветви полукубической параболы с точкой возврата на звуковой линии (жирная кривая на рис. 120).

Это свойство характеристик заранее очевидно из следующих простых соображений. В точках линии перехода угол Маха равен Это значит, что касательные к характеристикам обоих семейств совпадают, что и означает наличие здесь точки возврата (рис. 120). Линии же тока пересекают звуковую линию перпендикулярно к характеристикам, не имея здесь особенностей.

Рис. 120

Решение (119,6) неприменимо в том исключительном случае, когда линия тока перпендикулярна к звуковой линии в рассматриваемой точке. Вблизи такой точки течение, очевидно, симметрично относительно оси Этот случай требует особого рассмотрения (Ф. И. Франкль и С. В. Фалькович, 1945).

Симметрия течения означает, что при изменении знака у скорость меняет знак, остается неизменной. Другими словами, потенциал должен быть четной функцией у (а потенциал Ф — четной функцией ). Первые члены разложения будут поэтому в этом случае иметь следующий вид:

(119,8)

(относительный порядок малости и у не предопределен, так что все три написанных члена могут быть одинакового порядка).

Отсюда находим следующие формулы преобразования из физической плоскости в плоскость годографа:

(119,9)

Уже не решая этих уравнений относительно и у в явном виде, легко видеть, что степень однородности функции равна Поэтому соответствующая функция Ф имеет т. е. заключена в общем интеграле

Иключив из уравнений (119,9) х, получим для определения функции кубическое уравнение

(119,10)

При т. е. во всей области слева от годографических характеристик, проходящих через точку (в том числе во всей дозвуковой области, рис. 121), это уравнение имеет всего один вещественный корень, который и должен быть взят в качестве функции

Рис. 121

В области же справа от характеристик вещественны все три корня; из них должен быть взят тот, который является продолжением вещественного в левой области корня.

Характеристики в физической плоскости (проходящие через начало координат) получаются подстановкой выражений (119,9) в уравнение . Это дает две параболы:

(цифры указывают, какие две области в физической плоскости разделяет данная характеристика).

Звуковая же линия в плоскости годографа) в физической плоскости есть парабола (жирная кривая на рис. 121). Отметим следующую особенность точки пересечения звуковой линии с осью симметриш из этой точки исходят четыре ветви характеристик, между тем как из всякой другой точки звуковой линии — всего две.

На рис. 121 одинаковыми цифрами отмечены соответствующие друг другу области плоскости годографа и физической плоскости. Это соответствие — не взаимно однозначное; при полном обходе вокруг начала координат в физической плоскости об ласть между двумя характеристиками в плоскости годографа проходится трижды, как это указано пунктирной линией на рис. 121 дважды отражающейся от характеристик.

Поскольку функция сама удовлетворяет уравнению Эйлера — Трикоми, то она должна содержаться в общем интеграле Вблизи характеристики 23 в физической плоскости это есть

(119,12)

(первый член выражения (118,6), не имеющий особенности на характеристике). Производя ее аналитическое продолжение в окрестность характеристики 56 (по пути, проходящему через дозвуковую область 1, т. е. с помощью формул (118,13)), мы получим там такую же функцию. Вблизи же характеристик 34 и 45 представится линейными комбинациями этой функции и функции

(второй член выражения (118,6)); эти комбинации получаются Йутем аналитического продолжения с помощью формул (118,11) (причем надо иметь в виду, что при каждом отражении от годографической характеристики квадратный корень в функции (119,13) меняет знак).

С математической точки зрения полученные результаты показывают, что функции являются линейными комбинациями корней кубического уравнения

(119,14)

т. е. сводятся к алгебраическим функциям Вместе с сводятся к алгебраическим функциям также и все

(119,15)

получающиеся согласно формулам (118,9) и (118,10) из путем последовательных дифференцирований (Ф. И. Франкль, 1947).

К алгебраическим функциям сводятся также те функции

в которых гипергеометрическая функция сводится к полиному (так, при это есть первый член, а при — второй член выражения (118,6)).

К этим трем семействам алгебраических функций Ф относятся, в частности, все те функции, которые могут соответствовать (в качестве потенциала Ф) течениям, не имеющим никаких особенностей в физической плоскости. Именно, для таких течений все члены разложения Ф вблизи несимметричной точки линии перехода (первые два члена которого даются формулой (119,6)) могут иметь лишь или . Разложение же вблизи симметричной точки (начинающееся членом с может, кроме того, содержать еще функции с .