§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости

Применим уравнения гидродинамики гелия II к распространению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давление, энтропия — почти равными своим постоянным равновесным значениям.

Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в (139,12-14) пренебрегаем квадратичными по скорости членами, а в уравнении (139,5) можно вынести в члене энтропию из-под знака (поскольку этот член уже содержит малую величину ). Таким образом, система гидродинамических уравнений приобретает вид

(141,1)

Дифференцируя (141,1) по времени и подставляя (141,3), получаем:

(141,5)

Согласно термодинамическому соотношению имеем:

Подставляя сюда из (141,3) и из (141,4), получим:

Применяем к этому уравнению операцию div, а для подставляем выражение

следующее из равенства

В результате получаем уравнение

(141,6)

Уравнения (141,5) и (141,6) определяют распространение звука в сверхтекучей жидкости. Уже из того факта, что этих уравнений — два, видно, что существуют две скорости распространения звука.

Напишем в виде и т. д., где буквы со штрихом представляют собой малые изменения соответствующих величин в звуковой волне, а величины с индексом нуль (который мы ниже для краткости опускаем) — их постоянные равновесные значения.

Тогда можно написать:

и уравнения (141,5) и (141,6) принимают вид

Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в которой пропорциональны множителю (скорость звука обозначаем здесь посредством и). В качестве условия совместности обоих уравнений получаем уравнение

обозначает якобиан преобразования от к ). Путем простого преобразования с использованием термодинамических соотношений этому уравнению можно придать вид

(141,7)

( — теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по ) уравнение определяет две скорости распространения звука в гелии II. При один из корней этого уравнения обращается в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость звука

Фактически теплоемкости гелия II при температурах, не слишком близких к -точке, близки друг к другу (ввиду малости коэффициента теплового расширения). Согласно известной термодинамической формуле в этих условиях близки друг к другу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости:

Обозначив общее значение посредством с, а общее значение просто как , получим из уравнения (141,7) следующие выражения для скоростей звука:

Одна из них, почти постоянна, а другая, сильно зависит от температуры, обращаясь вместе с в нуль в -точке.

Вблизи -точки, однако, коэффициент теплового расширения не мал и пренебрегать разницей между нельзя. Чтобы получить формулу для в этом случае, следует опустить второй член в квадратной скобке в (141,7) (содержащий ) и член который в этом случае мал (так как стремится к нулю). Кроме того, можно положить . В результате получим:

Для скорости же получается формула (141,8), где под следует понимать , т. е. обычная формула для скорости звука.

По поводу формулы (141,9) следует заметить, что она применима лишь при достаточно низких частотах тем более низких, чем ближе жидкость находится к Х-точке. Дело в том, что (как было уже упомянуто в примечании на стр. 717) вблизи -точки неограниченно возрастает время релаксации параметра порядка; формула (141,9), не учитывающая дисперсии и поглощения звука, справедлива лишь при условии . Что касается скорости то вблизи -точки появляется дополнительное затухание, связанное с релаксацией параметра порядка — в соответствии с общими утверждениями в § 81.

При самых низких температурах, когда почти все элементарные возбуждения в жидкости являются фононами, величины , s связаны друг с другом соотношениями

. Подставив эти выражения в формулу (141,8) для найдем:

Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости и стремятся к постоянным пределам, причем так, что их отношение стремится к .

Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в гелии II рассмотрим плоскую звуковую волну (Е. М. Лифшиц, 1944). В такой волне скорости и переменные части температуры и давления пропорциональны друг другу. Введем коэффициенты пропорциональности согласно

(141,10)

Простое вычисление с помощью уравнений (141,1-6), произведенное с должной степенью точности, дает

здесь температурный коэффициент расширения; ввиду его малости величины, содержащие , малы по сравнению с соответствующими величинами, не содержащими .

Мы видим, что в звуковой волне первого типа да т. е. в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая массы движутся вместе. Естественно, что эти волны соответствуют обычным звуковым волнам в обычных жидкостях.

В волне же второго типа имеем , т. е. полная плотность потока вещества

Таким образом, в волне второго звука сверхтекучая и нормальная массы жидкости колеблются навстречу друг другу, так что в первом приближении их центр инерции в каждом элементе объема остается неподвижным и суммарный поток вещества отсутствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей жидкости.

Между обоими видами волн имеется и другое существенное отличие, видное из формул (141,11). В звуковой волне обычного звука амплитуда колебаний давления относительно велика, а амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне второго звука относительная амплитуда колебаний температуры велика по сравнению с относительной амплитудой колебаний давления. В этом смысле можно сказать, что волны второго звука представляют собой своеобразные незатухающие температурные волны.

В приближении, в котором тепловым расширением пренебрегается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто температурные колебания (с а волны первого звука — колебания давления (с ). Соответственно их уравнения движения полностью разделяются: в уравнении (141,6) пишем и получаем:

(141,12)

а в уравнении (141,5) полагаем и получаем:

(141,13)

С описанными свойствами звуковых волн в гелии II тесно связан и вопрос о различных способах их возбуждения (Е. М. Лифшиц, 1944). Обычные механические способы возбуждения звука (колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для получения второго звука в том смысле, что интенсивность излучаемого второго звука ничтожно мала по сравнению с интенсивностью одновременно излучаемого обычного звука. В гелии II возможны, однако, и другие, специфические для него способы возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями с периодически меняющейся температурой; интенсивность излучаемого второго звука оказывается здесь большой по сравнению с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду указанного выше различия в характере колебаний температуры в этих волнах (см. задачи 1 и 2).

При распространении волны второго звука большой амплитуды его профиль постепенно деформируется в результате эффектов нелинейности, и это приводит в конце концов к возникновению разрывов — как и для обычного звука в обычной гидродинамике §§ 101,102). Рассмотрим эти явления для одномерной бегущей волны второго звука (И. М. Халатников, 1952).

В одномерной бегущей волне все величины () могут быть выражены в виде функций от одного параметра, в качестве которого может быть выбрана, например, одна из самих этих величин (§ 101). Скорость U перемещения точки профиля волны равна производной взятой при определенном значении этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением

Вместо скоростей будет удобнее пользоваться величинами выбираем такую систему координат, в которой скорость и в данной точке профиля волны равна нулю. Гидродинамические уравнения (139,3-6) (с из формул (139,12-15)) приводят к следующей системе уравнений:

(141,16)

Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а также все члены, содержащие коэффициент теплового расширения; штрих означает везде дифференцирование по параметру.

В волне второго звука относительная амплитуда колебаний мала по сравнению с амплитудами поэтому можно опустить также и члены, содержащие Для определения U достаточно рассмотреть уравнение (141,16) и разность уравнений (141,15) и (141,17). Условие совместности получающихся таким образом двух линейных уравнений для Т и w приводит к квадратному уравнению

откуда

Здесь — местное значение скорости второго звука, меняющееся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением температуры от ее равновесного значения. Разлагая по степеням получим

где — равновесное значение Окончательно получим

(141,18)

При достаточно сильном искажении профиля волны в ней возникают разрывы (ср. § 102) — в данном случае температурные разрывы. Скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей U с обеих сторон разрыва, т. е. равна

(141,19)

где — значения w на обеих сторонах разрыва.

Коэффициент при w в выражении (141,18) может быть как положительным, так и отрицательным. В зависимости от этого точки с большими значениями w либо опережают, либо отстают от точек с меньшими значениями w, а разрыв соответственно возникает либо на переднем, либо на заднем фронте волны (в противоположность обычному звуку, где ударная волна возникает всегда на переднем фронте).