Задачи

Решение. Подставляя (68,1) в (67,4), получим уравнения распространяющихся в стационарно движущейся среде с распределением скоростей , причем везде Предполагается, что скорость и заметно меняется лишь на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны звука.

Решение. Подставляя (68,1) в (67,4), получим уравнения распространения лучей в виде

С помощью этих уравнений вычисляем с точностью до членов первого порядка по и производную при вычислении используем равенство

Получаем:

где — единичный вектор в направлении v. С другой стороны,

Поскольку взаимно перпендикулярны (из следует, что то из сравнения обоих выражений находим . Вводя элемент проходимой лучом длины пишем окончательно

Этим уравнением определяется форма лучей; есть единичный вектор касательной к лучу (отнюдь не совпадающий теперь с направлением ).

2. Определить форму звуковых лучей в движущейся среде с распределением скоростей

Решение. Раскрывая уравнение (1), находим:

(уравнение для можно не писать, так как Второе уравнение дает

В первом же пишем , после чего интегрирование дает

Эти формулы решают поставленную задачу.

Предположим, что скорость и равна нулю при и возрастает по направлению вверх Если звук распространяется «против ветра то его траектория искривляется, загибаясь вверх. При распространении же «по ветру» луч искривляется, загибаясь вниз; в этом случае луч, вышедший из точки под малым углом наклона к оси близко к единице), поднимается лишь на конечную высоту которую можно вычислить следующим образом. На высоте луч горизонтален, т. е. Поэтому имеем здесь:

так что

откуда по заданной функции и начальному направлению луча можно определить

3. Получить выражение принципа Ферма для звуковых лучей в стационарно движущейся среде.

Решение. Принцип Ферма требует минимальности интеграла взятого вдоль луча между двумя заданными точками, причем к предполагается выраженным как функция от частоты и и направления луча (см. II § 53). Эту функцию можно найти, исключая v и k из соотношений . В результате принцип Ферма приобретает вид

В неподвижном среде этот интеграл сводится к обычному .