§ 42. Логарифмический профиль скоростей

Рассмотрим плоско-параллельный турбулентный поток жидкости, текущий вдоль неограниченной плоской поверхности (когда мы говорим о плоско-параллельности турбулентного, потока, то подразумевается, конечно, усредненное по времени движение в нем).

Выберем направление потока в качестве оси плоскость стенки — в качестве плоскости , так что у есть расстояние от стенки. Компоненты средней скорости вдоль осей у и z равны нулю: Перепад давления отсутствует; все величины зависят только от у.

Обозначим посредством в силу трения, действующую на единицу поверхности стенки (и направленную, очевидно, по оси ). Величина а представляет собой не что иное, как импульс, передаваемый жидкостью твердой стенке; она является в то же время тем постоянным потоком импульса (точнее -компоненты импульса), который направлен в отрицательном направлении оси у, и определяет количество импульса, непрерывно передаваемого от более удаленных от стенки слоев жидкости к менее удаленным.

Наличие этого потока импульса связано, конечно, с наличием вдоль оси у градиента средней скорости и. Если бы жидкость двигалась везде с одинаковой скоростью, то никакого потока импульса в ней не было бы. Можно поставить вопрос и обратным образом: зададимся некоторым определенным значением а и выясним, каково должно быть движение в жидкости данной плотности , приводящее к потоку импульса . Имея в виду получить асимптотические законы, относящиеся к очень большим числам Рейнольдса, снова исходим из предположения, что в этих законах не должна фигурировать в явном виде вязкость жидкости v (она становится, однако, существенной на очень малых расстояниях у — см. ниже).

Таким образом, значение градиента скорости на каждом расстоянии от стенки должно определяться постоянными параметрами , а , разумеется, самим расстоянием у. Единственной комбинацией требуемой размерности, которую можно составить из , а и у, является Поэтому должно быть

где введена удобная для дальнейшего величина (с размерностью скорости) согласно определению

а х — числовая постоянная (постоянная Кармана). Значение к не может быть вычислено теоретически и должно быть определено из эксперимента. Оно оказывается равным

Интегрируя соотношение (42,1), получим:

где с — постоянная интегрирования. Для определения этой постоянной нельзя воспользоваться обычными граничными условиями на поверхности стенки: при первый член в (42,4) обращается в бесконечность. Причина этого заключается в том, что написанное выражение становится в действительности неприменимым на очень малых расстояниях от стенки, поскольку при очень малых у влияние вязкости делается существенным и им нельзя пренебрегать. Условия на бесконечности тоже отсутствуют: при выражение (42,4) тоже делается бесконечным. Это связано с тем, что в поставленных нами идеализированных условиях задачи фигурирует бесконечная поверхность стенки, влияние которой простирается поэтому и на бесконечно большие расстояния.

Прежде чем определить постоянную с, укажем предварительно на следующую существенную особенность рассматриваемого движения: оно не имеет никаких характерных постоянных параметров длины, которые могли бы определить масштаб турбулентного движения, как это имеет место в обычных случаях. Поэтому основной масштаб турбулентности определяется самим расстоянием у: турбулентное движение на расстоянии у от стенки имеет основной масштаб порядка величины у. Что же касается пульсационной скорости турбулентного движения, то она — порядка величины Это тоже следует непосредственно из соображений размерности, поскольку у, — единственная величина с размерностью скорости, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении величин а, р, у. Подчеркнем, что в то время как средняя скорость падает с уменьшением у, порядок величины пульсационной скорости оказывается одинаковым на всех расстояниях от стенки. Этот результат находится в согласии с общим правилом, что порядок величины пульсационной скорости определяется изменением средней скорости (§ 33). В рассматриваемом случае нет характерных длин на которых можно было бы брать изменение средней скорости; должно быть теперь разумным образом определено, как изменение и при изменении расстояния у на величину порядка его самого. Но при таком изменении у скорость и меняется согласно (42,4) как раз на величину порядка о».

На достаточно малых расстояниях от стенки начинает играть роль вязкость жидкости; обозначим порядок величины этих расстояний посредством Определить можно следующим образом. Масштаб турбулентного движения на этих расстояниях — порядка а скорость — порядка Поэтому число Рейнольдса, характеризующее движение на расстояниях есть

Вязкость начинает играть роль при Отсюда находим, что

чем и определяется интересующее нас расстояние.

На расстояниях движение жидкости определяется обычным вязким трением. Распределение скоростей здесь может быть получено прямо из обычной формулы для вязкого трення:

откуда

Таким образом, непосредственно к стенке прилегает тонкая прослойка жидкости, в которой средняя скорость меняется по линейному закону. Величина скорости во всей этой прослойке мала — она меняется от нуля на самой стенке до значений при Эту прослойку называют вязким подслоем. Никакой сколько-нибудь резкой границы между вязким подслоем и остальным потоком, конечно, нет; в этом смысле понятие о вязком подслое имеет лишь качественный характер Подчеркнем, что и в нем движение жидкости турбулентно.

В дальнейшем движением в вязком подслое мы не будем интересоваться вовсе. Наличие его надо учесть только соответствующим выбором постоянной интегрирования в (42,4): она должна быть выбрана так, чтобы было и у на расстояниях у Для этого надо положить так что

Эта формула определяет (при ограниченных у) распределение скоростей в турбулентном потоке, текущем вдоль твердой стенки. Такое распределение называют логарифмическим профилем скоростей.

В формуле (42,7) под знаком логарифма должен был бы на самом деле стоять еще некоторый числовой коэффициент.

В написанном виде она имеет, как говорят, лишь логарифмическую точность

Это значит, что аргумент логарифма предполагается настолько большим, что и сам логарифм велик. Введение небольшого численного коэффициента под знаком логарифма в (42,7) эквивалентно прибавлению к написанному выражению дополнительного члена вида , где const — число порядка единицы; в логарифмическом приближении таким членом пренебрегается по сравнению с членом, содержащим большой логарифм. Фактически, однако, аргумент логарифма в рассматриваемых здесь и ниже формулах все же не очень велик, а потому и точность логарифмического приближения не высока. Точность этих формул можно повысить, вводя эмпирический численный множитель в аргумент логарифма, или, что то же самое, прибавляя к логарифму эмпирическую постоянную. Так, более точная формула для профиля скоростей имеет вид:

Отметим, что обе формулы (42,6) и (42,8) имеют вид:

где — универсальная функция. Это — прямое следствие того, что — единственная безразмерная комбинация, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении параметров и переменной у. По этой причине такого рода зависимость должна иметь место на всех вообще расстояниях от стенки, в том числе в области, промежуточной между областями применимости формул (42,6) и (42,8). На рис. 31 приведен график функции в полулогарифмическом (десятичном) масштабе. Сплошные линии 1 и 2 отвечают соответственно формулам (42,6) и (42,8); штриховая кривая — эмпирическая зависимость в промежуточной области (она простирается примерно от .

Легко определить диссипацию энергии в рассматриваемом турбулентном потоке. Величина а представляет собой среднее значение компоненты тензора плотности потока импульса. Вне вязкого подслоя в можно опустить член с вязкостью, так что . Введя пульсационную скорость v и помня, что средняя скорость направлена по оси имеем Тогда

Далее, плотность потока энергии в направлении оси у равна (здесь тоже опущен вязкий член).

Написав и усреднив все выражение, получим

Здесь достаточно сохранить только последний член. Дело в том, что пульсационная скорость — порядка величины о, и потому (с логарифмической точностью) мала по сравнению с .

Рис. 31

Что касается давления, то его турбулентные пульсации и потому с той же точностью первый член в написанном выражении тоже может быть опущен. Таким образом, находим для средней плотности потока энергии:

(42,11)

По мере приближения к поверхности стенки этот поток уменьшается, что связано как раз с диссипацией энергии. Производная дает диссипацию в единице объема жидкости, а разделив ее на , получим диссипацию в единице массы:

До сих пор мы предполагали, что поверхность стенки достаточно гладкая. Если же поверхность шероховата, то выведенные формулы могут несколько измениться.

В качестве меры шероховатости стенки можно выбрать порядок величины выступов шероховатости, которые мы обозначим посредством d. Существенна сравнительная величина d и толщина подслоя Если толщина велика по сравнению с d, то шероховатость вообще не существенна; это и подразумевается под достаточной гладкостью стенки. Если и d одного порядка величины, то никаких общих формул написать нельзя.

В обратном же предельном случае сильной шероховатости снова можно установить некоторые общие соотношения. Говорить о вязком подслое в этом случае, очевидно, нельзя. Вокруг выступов шероховатости будет происходить турбулентное движение, характеризующееся величинами вязкость v, как обычно, не должна входить явно. Скорость этого движения — порядка величины — единственной имеющейся в нашем распоряжении величины с размерностью скорости. Таким образом, мы видим, что в потоке, текущем вдоль шероховатой поверхности, скорость делается малой на расстояниях у вместо у как это было при течении вдоль гладкой поверхности. Отсюда ясно, что распределение скоростей будет определяться формулой, получающейся из (42,7) заменой на ,

(42,13)