§ 10. Несжимаемая жидкость

В очень многих случаях течения жидкостей (и газов) их нлотность можно считать неизменяющейся, т. е. постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего времени движения. Другими словами, в этих случаях при движении не происходит заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении несжимаемой жидкости.

Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем , за исключением только того, что в уравнении (2,4) можно внести под знак градиента:

Зато уравнение непрерывности принимает при р = const простой вид

Поскольку плотность не является теперь неизвестной функцией, как это имеет место в общем случае, то в качестве основной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости можно выбрать уравнения, содержащие только скорость. Такими уравнениями являются уравнение непрерывности (10,2) и уравнение (2,11):

Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжимаемой жидкости в более простом виде. Уравнение (10,1) отличается от общего уравнения Эйлера (2,9) тем, что вместо в нем стоит . Поэтому мы можем сразу написать уравнение Бернулли, заменив просто в (5,4) тепловую функцию отношением

(10,4)

Для несжимаемой жидкости можно писать вместо w также и в выражении (6,3) для потока энергии, которое принимает тогда вид

Действительно, согласно известному термодинамическому соотношению имеем для изменения внутренней энргии выражение при имеем . Поскольку же постоянные члены в энергии несущественны, то можно опустить и в

В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой жидкости. Уравнение (10,3) удовлетворяется при тождественно. Уравнение же (10,2) при подстановке превращается в

т. е. в уравнение Лапласа для потенциала .

К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхностях соприкосновения жидкости с твердыми телами: на неподвижных твердых поверхностях нормальная к поверхности компонента скорости жидкости должна быть равна нулю, а в общем случае движущихся твердых тел должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали (эта скорость является заданной функцией времени). Скорость равна, с другой стороны, производной от потенциала по направлению нормали: Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что является на границах заданной функцией времени и координат.

При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением (9,3). В случае несжимаемой жидкости в этом уравнении можно писать вместо

Отметим здесь следующее важное свойство потенциального движения несжимаемой жидкости. Пусть через жидкость движется какое-нибудь твердое тело. Если возникающее при этом течение жидкости является потенциальным, то это течение зависит в каждый момент только от скорости движущегося тела в этот же момент времени, но, например, не от его ускорения.

Действительно, самое уравнение (10,6) не содержит времени явно; время входит в решение лишь через граничные условия, содержащие только скорость движущегося в жидкости тела.

Рис. 2

Из уравнения Бернулли видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости (без полз тяжести) наибольшее значение давлений достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О на рис. 2) и называется критической точкой. Если и — скорость натекающего на тело потока жидкости (т. е. скорость жидкости на бесконечности), а — давление на бесконечности, то давление в критической точке равно

Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух кородинат, скажем от х и у, причем скорость параллельна везде плоскости ху, то о таком течении говорят как о двухмерном или плоском. Для решения задач о двухмерном течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать скорост» через так называемую функцию тока. Из уравнения непрерывности

видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде производных

от некоторой функции называемой функцией тока. Уравнение непрерывности при этом удовлетворяется автоматически. Уравнение же, которому должна удовлетворять функция тока, получается подстановкой (10,9) в уравнение (10,3)

Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Действительно, дифференциальное уравнение линий тока (при двухмерном течении) есть

или ; оно выражает собой тот факт, что направление касательной к линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости. Подставляя сюда (10,9), получаем:

откуда . Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока произвольной постоянной.

Если между двумя точками 1 и 2 в плоскости х, у провести кривую, то поток жидкости Q через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой. Действительно, если — проекция скорости на нормаль к кривой в данной ее точке, то

или

(10,11)

Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексного переменного. Основание для этих применений заключается в следующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости посредством

Но такие соотношения между производными функций с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что комплексное выражение

(10,12)

является аналитической функцией комплексного аргумента Это значит, что функция будет иметь в каждой точке определенную производную

Функцию называют комплексным потенциалом, а — комплексной скоростью. Модуль и аргумент последней определяют абсолютную величину скорости v и угол ее наклона к направлению оси х:

На твердой поверхности обтекаемого контура скорость должна быть направлена по касательной к нему. Другими словами, контур должен совпадать с одной из линий тока, т. е. на нем должно быть ; эту постоянную можно выбрать равной нулю, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного контура сводится к определению аналитической функции принимающей на этом контуре вещественные значения. Более сложна постановка задачи в случаях, когда жидкость имеет свободную поверхность (такой пример — см. задачу 9 к этому параграфу).

Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкнутому контуру С равен, как известно, умноженной на сумме вычетов этой функции относительно ее простых полюсов, расположенных внутри С; поэтому

где - вычеты комплексной скорости. С другой стороны, имеем:

Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как циркуляция Г скорости по контуру С. Мнимая же часть (умноженная на ) представляет собой поток жидкости через этот контур; при отсутствии внутри контура источников жидкости этот поток равен нулю, и тогда имеем просто

(10,15)

(все вычеты при этом чисто мнимые).

Наконец, остановимся на условиях, при выполнении которых жидкость можно считать несжимаемой. При адиабатическом изменении давления на плотность жидкости изменится на

Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в стационарно движущейся жидкости — порядка величины Производная же представляет собой (как мы увидим в § 64) квадрат скорости звука с в жидкости. Таким образом, находим оценку

Жидкость можно считать несжимаемой, если . Мы видим, что необходимым условием для этого является малость скорости ее движения по сравнению со скоростью звука:

(10,16)

Это условие достаточно, однако, только при стационарном движении. При нестационарном движении необходимо выполнение еще одного условия. Пусть — величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины или , а соответствующее изменение есть .

Сравнив теперь члены в уравнении непрерывности, найдем, что производной можно пренебречь (т. е. можно считать, что ) в случае, если или

(10,17)

Выполнение обоих условий (10,16) и (10,17) достаточно для того, чтобы можно было считать жидкость несжимаемой. Условие (10,17) имеет наглядный шысл — оно означает, что время в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние мало по сравнению со временем , в течение которого заметно изменяется движение жидкости и, таким образом, дает возможность рассматривать процесс распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный.