§ 140. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости

Для учета диссипативных процессов в уравнениях гидродинамики сверхтекучей жидкости надо (как и в обычной гидродинамике) ввести в них дополнительные члены, линейные по пространственным производным скоростей и температуры. Вид этих членов может быть установлен однозначным образом исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии и принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагера (Я. М. Халатников, 1952).

Как и прежде, — масса и импульс единицы объема жидкости. Уравнение непрерывности сохраняет свой вид (139,3). В уравнения же (139,4), (139,6-7) надо ввести дополнительные члены, которые напишем в их правых частях;

(140,3)

Энтропийное же уравнение не имеет теперь вида уравнения сохранения (139,5); напротив, величины должны быть определены так, чтобы обеспечить возрастание энтропии. Для этого снова подставляем в уравнение сохранения энергии (140,3) производную выраженную с помощью (139,9), после чего исключаем производные с помощью (139,3), (140,1-2). При этом подразумевается, что Q и П даются уже известными выражениями поэтому сокращаются все члены, за исключением связанных с энтропией и с диссипативными величинами .

В результате получим уравнение

(140,4)

(здесь снова ),

Линейные по градиентам выражения величин обеспечивающие возрастание энтропии, имеют вид:

(140,6)

(в выделена комбинация производных от с равным нулю следом — подобно тому, как это делается в обычной гидродинамике). При этом согласно принципу Онсагера должно быть

(140,8)

так что остается всего 5 независимых кинетических коэффициентов.

Наконец, подставив выражения (140,5-7) в уравнение (140,4), после простых преобразований приведем его к виду

где

(140,10)

Это уравнение — аналог общего уравнения переноса тепла обычной гидродинамики (49,5). Если правая сторона определяет скорость возрастания энтропии жидкости и должна быть суще

Отсюда следует, что все коэффициенты к положительны, причем сверх того Коэффициент «первой вязкости», связанный с нормальным движением, аналогичен вязкости обычной жидкости, а коэффициент к формально аналогичен теплопроводности обычной жидкости; коэффициентов же «второй вязкости» имеется теперь три вместо одного в обычной гидродинамике.

По поводу изложенных результатов необходимо, однако, сделать еще следующее замечание. Диссипируемая в жидкости энергия разумеется, инвариантна относительно галилеевого преобразования системы отсчета. Производные от скорости этому требованию конечно удовлетворяют, но в сверхтекучей жидкости галилеевски инвариантна также и разность скоростей Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости могут зависеть не только от градиентов термодинамических величин и скоростей, но и от самой w. Как уже было отмечено в § 139, эта разность фактически должна рассматриваться как малая величина, и в этом смысле выражения (140,5-6) содержат в себе не все в принципе возможные члены, но лишь наибольшие из них.

Задача

Разделять уравнения для нормального и сверхтекучего движений в несжимаемой сверхтекучей жидкости (принимаются постоянными не только полная плотность , но и по отдельности).

Решение. Диссипативные члены в энтропийном уравнении являются малыми величинами второго порядка и могут быть в данном случае опущены; тогда и , а из уравнений (139,3) и (139,5) имеем . В тензоре же плотности потока импульса сохраняем линейный по градиентам скорости член, связанный с вязкостью нормального движения:

Подставив это выражение (вместе с из (139,12)), получим уравнение

или

где введен потенциал сверхтекучего движения согласно и учтено, что Поскольку то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Введем в качестве двух вспомогательных величин «давления» нормального и сверхтекучего движений согласно равенству где — давление на бесконечности, определяется обычной для идеальной жидкости формулой

Уравнение для скорости принимает тогда вид

формально совпадающий с уравнением Навье — Стокса для жидкости с плотностью и вязкостью Г).

Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия II сводится к двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой жидкостей. Сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа с граничным условием для нормальной производной как в обычной задаче о потенциальном обтекании идеальной жидкостью. Нормальное движение определяется уравнением Навье — Стокса с таким же граничным условием для (при отсутствии теплообмена между стенкой и жидкостью), как в обычной задаче об обтекании вязкой жидкостью. Распределение давления определяется затем как сумма

Для определения же распределения температуры пишем в уравнении (139,6) (с из (139,14)) и интегрируя находим

Изменения температуры и давления в несжимаемой жидкости малы, и с точностью до членов первого порядка пишем:

— температура и давление на бесконечности). Подставляя это выражение в написанный интеграл уравнения и вводя и получим: