§ 65. Энергия и импульс звуковых волн

Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна Подставим сюда , где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости. Член является величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться точностью до членов второго порядка включительно, получим:

Производные берутся при постоянной энтропии, поскольку звуковая волна адиабатична.

В силу термодинамического соотношения

имеем:

вторая производная:

Таким образом, энергия единицы объема жидкости равна

Первый член в этом выражении (еоро) представляет собой энергию единицы объема неподвижной жидкости и не имеет отношения к звуковой волне. Что касается второго члена то это есть изменение энергии, связанное просто с изменением количества вещества (массы жидкости) в каждой данной единице объема. В полной энергии, получающейся интегрированием энергии единицы объема по всему объему жидкости, этот член выпадает: поскольку общее количество жидкости остается неизменным, то Таким образом, полное изменение энергии жидкости, связанное с наличием звуковой волны, равно интегралу

Подынтегральное выражение можно рассматривать как плотность Е звуковой энергии:

Это выражение упрощается в случае бегущей плоской волны. b такой волне и оба члена в (65,1) оказываются одинаковыми, так что

В общем случае произвольной волны такое соотношение не имеет места. Аналогичную формулу можно написать в общем случае Лишь для среднего (по времени) значения полной звуковой энергии. Она следует непосредственно из известной общей теоремы механики о том, что во всякой системе, совершающей малые колебания, среднее значение полной потенциальной энергии равно среднему значению полной кинетичеекой энергии.

Поскольку последняя равна в данном случае то мы находим, что полная средняя звуковая энергия есть

Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой распространяется звук, и определим поток энергии через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность потока энергии в жидкости равна согласно . В рассматриваемом случае можно пренебречь членом с как малым третьего порядка. Поэтому плотность потока энергии в звуковой волне есть Подставив сюда имеем

Для малого изменения тепловой функции имеем

и далее Полный поток энергии через рассматриваемую поверхность равен интегралу

Первый член в этой формуле есть поток энергии, связанный просто с изменением массы жидкости в данном объеме. Но мы уже опустили соответствующий (равный нулю при интегрировании по бесконечному объему) член в плотности энергии. Поэтому, чтобы получить поток энергии, плотность которой определена согласно (65,1), надо опустить этот член, и поток энергии будет просто

Мы видим, что роль плотности потока звуковой энергии играет вектор

Легко проверить, что, как и должно было быть, имеет место соотношение

выражающее закон сохранения энергии, причем роль плотности потока энергии играет именно вектор (65,4).

В бегущей (слева направо) плоской волне изменение давления связано со скоростью посредством где скорость понимается вместе со своим знаком.

Введя единичный вектор в направлении распространения волны, получим

Таким образом, в плоской звуковой волне плотность потока энергии равна плотности энергии, умноженной на скорость звука, — результат, который естественно было ожидать.

Рассмотрим теперь звуковую волну, занимающую в каждый данный момент времени некоторую конечную область пространства (нигде не ограниченную твердыми стенками) волновой пакет, определим полный импульс жидкости в такой волне. Импульс единицы объема жидкости совпадает с плотностью потока массы Подставив , имеем Изменение плотности связано с изменением давления посредством . С помощью (65,4) получаем поэтому

Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несущественна, то движение в звуковой волне можно считать потенциальным и написать (подчеркнем, что это утверждение не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в § 64 при выводе линейных уравнений движения, — решение с является точным решением уравнений Эйлера). Поэтому имеем:

Полный импульс волны равен интегралу по всему занимаемому ею объему. Но интеграл от может быть преобразован в интеграл по поверхности:

и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым пакетом объема Таким образом, полный импульс пакета равен

Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место перенос вещества. Мы приходим к результату, что распространение звукового пакета сопровождается переносом вещества жидкости. Это — эффект второго порядка, поскольку q есть величина второго порядка.

Наконец, рассмотрим звуковое поле в области пространства, неограниченной по своей длине и ограниченной по поперечному сечению (волновой конечной апертуры); вычислим среднее значение переменной части давления в нем.

В первом приближении, соответствующем обычным линейным уравнениям движения, является периодической знакопеременной функцией и среднее значение обращается в нуль. Этот результат, однако, может не иметь места, если обратиться к более высоким приближениям. Если ограничиться величинами второго порядка малости, то оказывается возможным выразить через величины, вычисляемые с помощью линейных уравнений звука, так что не приходится прибегать к непосредственному решению нелинейных уравнений движения, получающихся при учете величин высших порядков.

Характерным свойством рассматриваемого звукового поля является то, что разности значений потенциала скорости в различных его точках остаются конечными при неограниченном увеличении расстояния между ними (и то же самое относится к разности значений в заданной точке пространства в различные моменты времени). Действительно, это изменение даетсв. интегралом

который может быть взят по любому пути между точками 1 и 2; указанное свойство потенциала становится очевидным, если заметить, что в данном случае можно выбрать путь, проходящий вдоль длины цуга вне его.

Имея в виду это свойство, будем исходить из уравнения Бернулли

Усредним это равенство по времени. Среднее значение производной обращается в нуль. Написав также и включив постоянную в const, находим .

Поскольку одинакова во всем пространстве, а вне волнового цуга вдали от него w и v обращаются в нуль, то ясно, что эта постоянная должна быть нулем, так что

Разложим, далее, до по степеням с точностью до члена второго порядка имеем:

и поскольку то

Подставив это в (65,9), получим:

чем и определяется среднее давление. Стоящее справа выражение является величиной второго порядка малости и для его вычисления надо пользоваться и у, получающимися путем решения линейных уравнений движения. Для средней плотности лмеем

Ввиду конечности площади поперечного сечения волнового цуга, он не может представлять собой строго плоскую волну. Но если линейные размеры сечения достаточно велики по сравнению с длиной волны звука, волновое поле может быть близко к плоскому с высокой точностью. В бегущей плоской волне так что выражение (65,10) обращается в нуль, т. е. среднее изменение давления является эффектом более высокого порядка, чем второй. Изменение же плотности

в нуль не обращается. В этом же приближении имеем для среднего значения тензора плотности импульса в бегущей плоской (в указанном выше смысле) волне:

Первый член равен нулю, а во втором вводим единичный вектор в направлении распространения волны (совпадающем с точностью до знака с направлением v).

Воспользовавшись соотношением (65,2), будем иметь для плотности потока импульса:

Если волна распространяется вдоль оси то отлична от нуля только компонента Таким образом, в рассматриваемом приближении имеется средний поток только - компоненты импульса, причем он переносится в направлении оси х.

По поводу всего сказанного в последнем абзаце лишний подчеркнем, что речь о волновом цуге, ограниченном по своему сечению. Для волны, плоской в строгом смысле этого слова, эти результаты были бы несправедливы (в частности могло бы быть отличным от нуля уже в квадратичном приближении см. задачу 4 в § 101). Формально это связано с тем» что для строго плоской волны (которую нельзя обойти «сбоку») несправедливо, вообще говоря, утверждение о конечности потенциала во веем пространстве (или в течение всего времени). Физическое различие связано с возможностью (в случае ограниченного по сечению волнового цуга) возникновения поперечного движения, приводящего к выравниванию среднего давления.