§ 118. Уравнение Эйлера — Трикоми. Переход через звуковую скорость

Существенный принципиальный интерес имеет исследование особенностей течения, возникающих при переходе из до- в сверхзвуковую область, или обратно. Стационарные течения, сопровождающиеся таким переходом, называются смешанными или трансзвуковыми, а самую границу перехода называют переходной или звуковой поверхностью.

Для исследования течения вблизи границы перехода в особенности удобно уравнение Чаплыгина, сильно упрощающееся в этой области.

На границе перехода , а вблизи нее (в околозвуковой области) разности и малы и связаны друг с другом соотношением (114,8):

Произведем соответствующие упрощения в уравнении Чаплыгина. Третий член уравнения (116,8) мал по сравнению со вторым, содержащим в знаменателе. Во втором же члене полагаем приближенно

Наконец, вводя вместо скорости v новую переменную

(118,1)

получим искомое уравнение в виде

Уравнение такого вида в математической физике называется уравнением Эйлера—Трикоми.

В полуплоскости оно относится к гиперболическому, а в полуплоскости — к эллиптическому типу. Мы рассмотрим здесь ряд чисто математических свойств этого уравнения, которые существенны для исследования тех или иных конкретных физических случаев.

Характеристики уравнения (118,2) определяются уравнением

имеющим общий интеграл:

(118,3)

где С — произвольная постоянная. Это уравнение изображает в плоскости два семейства характеристик, представляющих собой ветви полукубических парабол, расположенных в правой полуплоскости с точками возврата на оси 0 (рис. 118).

Рис. 118

При исследовании движения в небольшой области пространства, в которой направление скорости газа меняется незначительно, всегда можно выбрать направление оси так, чтобы отсчитываемый от нее угол во всей рассматриваемой области был малым.

Тогда сильно упрощаются также и уравнения (116,6), определяющие координаты у по функции ):

Для того чтобы избежать появления в формулах лишнего множителя мы будем ниже, в §§ 118—121, пользоваться вместо координаты величиной обозначая ее той же буквой Тогда

Полезно заметить, что ввиду такой простой связи с Ф функция (но не ) тоже удовлетворяет уравнению Эйлера—Трикоми.

Имея это в виду, можно написать якобиан преобразования из физической плоскости в плоскость годографа в виде

Как уже сказано, уравнение Эйлера — Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окрестности начала координат в плоскости . В физически интересных случаях эта точка представляет собой особую точку решения. В связи с этим особое значение приобретает семейство частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми, обладающих определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о решениях, однородных по отношению к переменным 02 и такие решения должны существовать, поскольку преобразование оставляет инвариантным уравнение (118,2). Будем искать эти решения в виде

где k — постоянная (степень однородности функции Ф по отношению к указанному преобразованию). Переменную мы выбрали такой, что она обращается в нуль на характеристиках, проходящих через точку . Сделав подстановку, получим для функции уравнение

Это — частный случай гипергеометрического уравнения. С помощью известного выражения для двух независимых интегралов гипергеометрического уравнения находим искомое решение (при нецелом числе в виде

С помощью известных соотношений между гипергеометрическими функциями от аргументов , можно представить это решение еще в пяти других видах; при исследовании различных конкретных случаев приходится пользоваться всеми этими видами.

Мы приведем здесь лишь следующие два вида:

(постоянные А, В в формулах (118,6-8), конечно, не совпадают). Из этих выражений сразу следует важное свойство функций не видное непосредственно из выражения (118,6): линии не являются их особыми линиями (из (118,7) видно, что вблизи разлагается по целым степеням а из (118,8) — то же самое по 0). Из выражения же (118,6) видно, что характеристики, напротив, являются особыми линиями общего (т. е. содержащего обе постоянные А и В) однородного интеграла Ф уравнения Эйлера — Трикоми: при нецелом точками разветвления обладает множитель а при целом один из членов в (118,6) вообще теряет смысл 1) (либо при совпадает с другим) и должен быть заменен вторым независимым решением гипергеометрического уравнения, имеющим, как известно, в этом случае логарифмическую особенность.

Между интегралами с различными значениями k имеются следующие соотношения:

(118,9)

Рис. 119

Первое следует непосредственно из выражения (118,6), а второе — из того, что функция удовлетворяет уравнению Эйлера — Трикоми и имеет ту же степень однородности, что и . В этих формулах под подразумевается, конечно, общее выражение с двумя произвольными постоянными.

При исследовании решения в окрестности точки приходится следить за его изменением при обходе вокруг этой точки. Пусть, например, функция изображает решение в точке А вблизи характеристики (рис. 119) и требуется найти форму решения вблизи характеристики (в точке В).

Переход вдоль АВ связан с пересечением оси абсцисс; между тем значение есть особая точка гипергеометрических функций в выражении (118,6), так как их аргумент обращается в бесконечность. Поэтому для совершения перехода необходимо сначала применить к гипергеометрическим функциям преобразование, переводящее их в функции обратного аргумента для которых уже не будет особой точкой, после чего меняем знак 0 и повторным таким же преобразованием переводим их в функции прежнего аргумента. Таким способом получим для функций, входящих в выражение (118,6), следующие формулы преобразования:

причем под и подразумеваются выражения

в которых и в коэффициентах при гипергеометрических функциях берутся по их абсолютным значениям.

Аналогичным образом можно получить формулы преобразования при переходе из точки А в точку В (рис. 119) путем обхода начала координат в обратном направлении. Вычисления при этом более громоздки, так как приходится проходить через три особые точки гипергеометрических функций — точку с и два раза точки с (напомним, что особыми точками гипергеометрической функции аргумента являются точки и . Окончательные формулы гласят:

Наряду с рассмотренным семейством однородных решений можно построить, конечно, и другие семейства частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми. Укажем здесь семейство решений, возникающих в связи с разложением Фурье по углу 0. Если искать Ф в виде

(118,14)

где v — произвольная постоянная, то для функции получим уравнение

Это — уравнение функций Эйри; его общий интеграл есть

(118,15)

где — произвольная линейная комбинация функций Бесселя порядка

Наконец, полезно иметь в виду, что общий интеграл уравнения Эйлера — Трикоми может быть написан в виде

(118,16)

где - произвольная функция, а интегрирование производится в плоскости комплексного переменного по любому контуру С, на концах которого производная принимает одинаковые значения. Действительно, непосредственная подстановка выражения (118,16) в уравнение дает

т. е. уравнение удовлетворяется.