§ 56. Свободная конвекция

Мы видели в § 3, что если в находящейся в поле тяжести жидкости имеет место механическое равновесие, то распределение температуры в ней должно зависеть только от высоты . Если же распределение температуры не удовлетворяет этому требованию, являясь в общем случае функцией всех трех координат, то механическое равновесие в жидкости невозможно. Больше того, даже если , то механическое равновесие все же может оказаться невозможным, если вертикальный градиент температуры направлен вниз и по абсолютной величине превышает определенное предельное значение (§ 4).

Отсутствие механического равновесия приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое возникающее в поле тяжести движение называют свободной конвекцией.

Выведем уравнения, описывающие конвекцию. Мы будем рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что давление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жидкости, так что изменением плотности под влиянием изменения давления можно пренебречь. Например, в атмосфере, где давление меняется с высотой, это значит, что мы не будем рассматривать слишком высоких ее столбов, в которых изменение плотности с высотой становится существенным. Что же касается изменения плотности благодаря неравномерной нагретости жидкости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь. Именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное движение.

Напишем переменную температуру в виде , где есть некоторое постоянное среднее значение, от которого отсчитывается неравномерность температуры Т. Будем предполагать, что Т мало по сравнению с

Плотность жидкости тоже напишем в виде постоянным . Ввиду малости изменения температуры Т мало также и вызываемое им изменение плотности р, причем можно написать:

где — температурный коэффициент расширения жидкости.

В давлении же величина не будет постоянной Это — давление, соответствующее механическому равновесию при постоянных (равных ) температуре и плотности.

Оно меняется с высотой согласно гидростатическому уравнению

(56,2)

где координата z отсчитывается вертикально вверх.

В столбе жидкости высотой h гидростатический перепад давления составляет Этот перепад приводит к изменению плотности на где с — скорость звука (см. ниже (64,4)). Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и по сравнению с ее тепловым изменением (56,1). Другими словами, должно удовлетворяться неравенство

где — характерная разность температур.

Начнем с преобразования уравнения Навье — Стокса, которое при наличии поля тяжести имеет вид

получающийся добавлением к правой стороне (15,7) действующей на единицу массы силы g. Подставим сюда . С точностью до малых первого порядка имеем:

или, подставляя (56,1) и (56,2):

Подставляя это выражение в уравнение Навье-Стокса и опуская индекс у получаем окончательно:

В уравнении теплопроводности (50,2) член, содержащий вязкость, при свободной конвекции, как можно показать, мал по сравнению с другими членами уравнения и потому может быть опущен. Таким образом, получаем:

Уравнения (56,4) и (56,5) вместе с уравнением непрерывности представляют собой полную систему уравнений, описывающих свободную конвекцию (A. Oberbeck, 1879; I. Boussinesq, 1903).

Для стационарного движения уравнения конвекции принимают вид

В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции , входят три параметра: Кроме того, в их решение входят характерная длина h и характерная разность температур 0. Характерная скорость теперь отсутствует, поскольку никакого вынужденного посторонними причинами движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее неравномерной нагретостыо. Из этих величин можно составить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что температуре надо при этом приписывать особую размерность — см. § 53) В качестве них обычно выбирают число Прандтля и число Рэлея:

Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой является число Рэлея.

Закон подобия для свободной конвекции гласит

Два течения подобны, если их числа I и Р одинаковы. Теплопередачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта, по-прежнему определенным согласно (53,7). Оно является теперь функцией только от и Р.

Конвективное движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Наступление турбулентности определяется числом Рэлея — конвекция становится турбулентной при очень больших значениях .