Задачи

1. Определить движение в осесимметричной волне, распространяющейся вдоль оси вращающейся как целое несжимаемой жидкости (W. Thomson, 1880).

Решение. Введем цилиндрические координаты с осью вдоль вектора . В осесимметричной волне все величины не зависят от угловой переменной Зависимость же от времени и координаты z дается множителем вида . Раскрыв уравнение (14,3) в компонентах, получим

Сюда надо присоединить уравнение непрерывности

Выразив через из (2) и (3) и подставив в (1), получим уравнение

для функции определяющей радиальную зависимость скорости

Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при есть

(5)

где — функция Бесселя порядка 1.

Вся картина движения в волне распадается на области, ограниченные коаксиальными цилиндрическими поверхностями с радиусами определяемыми равенствами

где — последовательные нули функции На этих поверхностях другими словами, жидкость никогда не пересекает их.

Отметим, что для рассматриваемых волн в неограниченной жидкости частота (о не зависит от k. Возможные значения частоты ограничены, однако, условием в противном случае уравнение (4) не имеет решения, удовлетворяющего необходимым условиям конечности.

Если же вращающаяся жидкость ограничена цилиндрической стенкой (радиуса R), то должно быть учтено условие на стенке. Отсюда возникает соотношение

устанавливающее связь между и k для волны с заданным значением (т. е. числом коаксиальных областей в ней).

2. Получить уравнение, описывающее произвольное малое возмущение давления во вращающейся жидкости.

Рёшение. Уравнение (14,3), расписанное в компонентах, дает

Продифференцировав эти три уравнения соответственно по и сложив их с учетом уравнения получим:

Дифференцирование этого уравнения по t, снова с учетом уравнений (1),

а еще одно дифференцирование по приводит к окончательному уравнению

Для периодических возмущений с частотой это уравнение сводится к

Для волн вида (14,5) отсюда получается, разумеется, уже известное дисперсионное соотношение (14,8); при этом и коэффициент при в уравнении (3) отрицателен. Возмущения из точечного источника распространяются вдоль образующих конуса с осью вдоль и углом раствора , где

При коэффициент при в уравнении (3) положителен, и путем очевидного изменения масштаба вдоль оси z оно приводится к уравнению Лапласа. Влияние точечного источника возмущений простирается в этом случае по всему объему жидкости, причем убывает при удалении от источника по степенному закону.