§ 125. Сверхзвуковое обтекание крыла

Для того чтобы быть хорошо обтекаемым в сверхзвуковом потоке, крыло должно иметь заостренными как заднюю, так и переднюю кромки, подобно тому как должны быть заострены тонкие тела, рассматривавшиеся в § 123.

Здесь мы ограничимся изучением обтекания тонкого крыла с очень большим размахом, с постоянным вдоль размаха профилем сечения. Рассматривая длину размаха как бесконечную, мы будем иметь дело с плоским (в плоскости течением газа. Вместо уравнения (123,1) будем иметь теперь для потенциала уравнение

с граничным условием

(знаки в правой стороне равенства имеют место соответственно для верхней и нижней поверхностей крыла). Уравнение (125,1) есть уравнение типа одномерного волнового уравнения, и его общее решение имеет вид

Тот факт, что влияющие на движение жидкости возмущения исходят от тела, означает, что в пространстве над крылом должно быть так что а в пространстве под крылом

Будем для определенности рассматривать пространство над крылом, где

Функцию f определим из граничного условия (125,2), написав в нем где есть уравнение верхней части линии профиля крыла (рис. 129, а). Имеем:

Таким образом, распределение скоростей определяется (при ) потенциалом

(125,3)

Аналогично при мы получили бы

где — уравнение нижней части профиля. Отметим, что потенциал, а с ним и остальные величины постоянны вдоль прямых , (характеристик) в соответствии с резуль татами § 115, частным случаем которых является и полученное здесь решение.

Рис. 129

Качественно картина течения выглядит следующим образом. От задней и передней заостренных кромок отходят слабые разрывы на рис. 129,б). В пространстве впереди разрыва и позади поток однороден, а в области между ними поток поворачивает, огибая поверхность крыла; это есть простая волна, причем в рассматриваемом линеаризованном приближении все характеристики в ней имеют одинаковый наклон, равный углу Маха натекающего потока.

Распределение давления получается по формуле

(в общей формуле (114,5) членом с можно в данном случае пренебречь, так как — одинакового порядка величины). Подставив сюда (125,3) и вводя так называемый коэффициент давления получим в верхней полуплоскости

В частности, коэффициент давления, действующего на верхнюю поверхность крыла, есть

(125,4)

Аналогично найдем для нижней поверхности

(125,5)

Отметим, что давление в каждой точке профиля сечения крыла оказывается зависящим только от наклона его контура в этой же точке.

Поскольку угол наклона линии контура профиля к оси везде мал, то вертикальная проекция сил давления равна с достаточной точностью самому давлению. Результирующая действующая на крыло подъемная сила равна разности сил давления, действующих на ее нижнюю и верхнюю поверхности. Поэтому коэффициент подъемной силы

(определение длин см. рис. 129, а). Определим угол атаки а как угол наклона к оси хорды АВ, проведенной через вершины острых кромок (рис. 129, а): а тогда получим окончательно простую формулу:

(125,6)

(J. Ackeret, 1925). Мы видим, что подъемная сила определяется одним только углом атаки и не зависит от формы сечения крыла в отличие от того, что имеет место при дозвуковом обтекании (см. § 48, формулу (48,7)).

Определим, далее, действующую на крыло силу сопротивления (это есть волновое сопротивление, имеющее такую же природу, как и волновое сопротивление тонких тел; см. § 123). Для этого надо спроектировать силы давления на направление оси и проинтегрировать эту проекцию по всему контуру профиля. Для коэффициента силы сопротивления получим тогда:

(125,7)

Введем углы наклона верхней и нижней частей контура к его хорде АВ; тогда . Интегралы от обращаются, очевидно, в нуль, так что окончательно получим следующую формулу:

(125,8)

(черта обозначает усреднение по ). При заданном угле атаки коэффициент сопротивления, очевидно, минимален для крыла, представляющего собой плоскую пластинку (так что ). В этом случае Если применить формулу (125,8) к шероховатой поверхности, то мы найдем, что шероховатость может привести к значительному увеличению сопротивления, даже если высота отдельных неровностей мала. Действительно, сопротивление оказывается не зависящим от высоты отдельных неровностей, если не меняется средний наклон их поверхности, т.е. среднее отношение высоты неровностей к расстоянию между ними.

Наконец, сделаем еще следующее замечание. Здесь, как и везде, говоря о крыле, мы подразумеваем, что оно расположено своими кромками перпендикулярно к движению. Обобщение на случай любого угла у между направлением движения и кромкой (угол скольжения) вполне очевидно. Ясно, что силы, действующие на бесконечное крыло постоянного сечения, зависят только от нормальной к его кромкам составляющей скорости натекающего потока; в невязкой жидкости составляющая скорости, параллельная кромкам, не вызывает никаких сил. Поэтому силы, действующие на крыло со скольжением в потоке с числом — такие же, какие действовали бы на то же крыло без скольжения в потоке с числом равным у. В частности, если но то специфическое для сверхзвукового обтекания волновое сопротивление будет отсутствовать.