§ 136. Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопроводной среды

Установление релятивистских гидродинамических уравнений при наличии диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности) сводится к вопросу об определении вида соответствующих дополнительных членов в тензоре энергии-импульса и в векторе плотности потока вещества.

Обозначая эти члены соответственно как напишем:

(136,1)

Уравнения движения по-прежнему содержатся в

Прежде всего, однако, возникает вопрос о более точном определении самого понятия скорости В релятивистской механике всякий поток энергии неизбежно связан также и с потоком массы. Поэтому при наличии, например, теплового потока определение скорости по потоку массы (как в нерелятивистской гидродинамике) теряет непосредственный смысл. Мы определим здесь скорость условием, чтобы в собственной системе отсчета каждого данного элемента жидкости его импульс был равен нулю, а его энергия выражалась через другие термодинамические величины теми же формулами, как и при отсутствии диссипативных процессов. Это значит, что в указанной системе отсчета должны обращаться в нуль компоненты тензора поскольку в этой системе и , то имеем в ней а потому и в любой другой системе) тензорное соотношение

(136,3)

Аналогичное соотношение

(136,4)

должно выполняться и для вектора поскольку в собственной системе отсчета компонента 4-вектора потока частиц должна, по определению, совпадать с плотностью числа частиц .

Искомый вид тензора и вектора v, можно установить, исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Этот закон должен содержаться в уравнениях движения (подобно тому как в § 134 из этих уравнений получалось для идеальной жидкости условие постоянства энтропии). Путем простых преобразований с использованием уравнения непрерывности легко получить следующее уравнение:

где — релятивистский химический потенциал вещества: , и использовано термодинамическое соотношение для его дифференциала:

Наконец, используя (136,3), перепишем это уравнение в виде

(136,6)

Стоящее слева выражение должно представлять собой -дивергенцию потока энтропии, а выражение справа — возрастание энтропии вследствие диссипэтиеных процессов. Таким образом, -вектор плотности потока энтропии есть

а должны выражаться линейно через градиенты скорости и термодинамических величин так, чтобы обеспечить существенную положительность правой стороны уравнения (136,6). Это условие вместе с условиями (136,3-4) однозначно определяет вид симметричного 4-тензора и 4-вектора

(136,8)

Здесь — два коэффициента вязкости, а к — коэффициент теплопроводности, выбранные в соответствии с их нерелятивистским определением. В нерелятивистском пределе компоненты сводятся к компонентам трехмерного тензора вязких напряжений

Чистой теплопроводности соответствует поток энергии при отсутствии потока вещества. Условие последнего есть При этом пространственные компоненты 4-скорости — величины первого порядка по градиентам; поскольку выражения (136,8-9) написаны лишь с точностью до величин этого порядка, компоненту -скорости надо положить равной единице: . С этой же точностью надо опустить второй член в квадратных скобках в (136,9). Тогда для плотности потока энергии а на ходим:

Используя термодинамическое соотношение (136,5), переписанное в виде

получим поток энергии:

(136,10)

Мы видим, что в релятивистском случае теплопроводностнын поток тепла пропорционален не просто градиенту температуры, а определенной комбинации градиентов температуры и давления (в нерелятивистском пределе и член с должен быть опущен).