§ 32. Переход к турбулентности путем удвоения периодов

Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим движением путем прохождения мультипликатора через значение —1 или +1.

В -мерном пространстве состояний мультипликаторов определяют поведение траекторий в различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к ±1 мультипликатор отвечает некоторому направлению. Остальные мультипликаторов малы по модулю; поэтому по соответствующим им направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее 2), которой принадлежат направление и направление указанных касательных Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны 2 и переходить с одной стороны поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи 2 некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повторно пересекая а, ставит в соответствие исходной точке пересечения (назовем ее ) точку пересечения в момент следующего возврата

Связь называют отображением Пуанкаре (или отображением последования); она зависит от параметра R (в данном случае — числа Рейнольдса), значение которого определяет степень близости к бифуркации — потере устойчивости периодическим движением. Поскольку все траектории тесно прижаты к поверхности 2, множество точек пересечения поверхности о траекториями оказывается почти одномерным, и его можно приближенно аппроксимировать линией; отображение Пуанкаре станет одномерным преобразованием

причем будет просто координатой на указанной линии. Дискретная переменная j играет роль времени, измеряемого в единицах периода движения.

Отображение (32,1) дает альтернативный способ определения характера течения вблизи бифуркации. Самому периодическому движению отвечает неподвижная точка преобразования (32,1) — значение не меняющееся при отображении, т.е. для которого Роль мультипликатора играет производная взятая в точке Точки в окрестности в результате отображения переходят в Неподвижная точка устойчива (и является аттрактором отображения), если повторно применяя (итерируя) отображение и начав с какой-либо точки в окрестности точки мы будем асимптотически приближаться к последней (по закону где — число итераций). Напротив, при неподвижная точка неустойчива.

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство означает, что начальное возмущение через интервал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине: еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом — бифуркация удвоения периода. На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации; на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов , а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы.

Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения

где . При неподвижная точка устойчива, а при — неустойчива.

Чтобы увидеть, как происходит удвоение периода, надо итерировать отображение (32,2) дважды, т. е. рассмотреть его за два шага (две единицы времени) и определить неподвижные точки вновь полученного отображения; если они существуют и устойчивы, то они и отвечают циклу удвоенного периода.

Рис. 20

Двукратная итерация преобразования (32,2) приводит (с нужной точностью по малым величинам ) к отображению

Оно всегда имеет неподвижную точку При эта точка единственна и устойчива (мультипликатор для движения с периодом 1 (в единицах ) интервал времени 2 — тоже период. При мультипликатор обращается в и при точка становится неустойчивой. В этот момент рождается пара устойчивых неподвижных точек

которые и соответствуют устойчивому предельному циклу удвоенного периода; преобразование (32,3) оставляет каждую из этих точек на месте, а преобразование (32,2) переводит каждую из них в другую. Подчеркнем, что цикл единичного периода при описанной бифуркации не исчезает —4 он остается решением уравнений движения, но неустойчивым.

Вблизи бифуркации движение остается еще «почти периодическим» с периодом 1: точки последовательных возвратов траектории близки друг к другу.

Интервал между ними является мерой амплитуды колебаний с периодом 2; она растет с надкритичностью как ( - аналогично закону (26,10) возрастания амплитуды периодического движения после его возникновения в точке потери устойчивости стационарным движением.

Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы; последовательность критических значений стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает сложный апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности (М. I. Feigenbaum, 1978).

Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра.

Выбор рассматриваемого ниже отображения естествен в силу следующих соображений. В значительной части интервала изменения переменной отображение должно быть «растягивающим», это дает возможность возникновения неустойчивостей. Отображение должно также возвращать траектории, выходящие за границы некоторого интервала, обратно в него; противное означало бы неограниченное возрастание амплитуд пульсаций скорости, что невозможно. Обоим этим требованиям вместе могут удовлетворять лишь немонотонные функции т. е. не взаимнооднозначные отображения (32,1): значение однозначно определяется предшествующим значением но не наоборот. Простейший вид такой функции — функция с одним максимумом; в окрестности максимума положим

где — положительный параметр, который надо рассматривать (в гидродинамическом аспекте) как возрастающую функцию R.

Примем условно отрезок [-1,+1] как интервал изменения величины при между 0 и 2 все итерации отображения (32,5) оставляют х в этом же интервале.

Преобразование (32,5) имеет неподвижную точку — корень уравнения Эта точка становится неустойчивой при где ; — значение параметра , для которого мультипликатор из двух написанных уравнений находим Это — первое критическое значение параметра К, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления -цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения.

Повторив преобразование (32,5) дважды, получим

Пренебрежем здесь последним слагаемым — четвертой степени по Оставшееся равенство масштабным преобразованием

приводится к виду

отличающемуся от (32,5) лишь заменой параметра на

Повторяя эту операцию с масштабными множителями получим ряд последовательных отображений того же вида:

Неподвижные точки отображений (32,8) отвечают -циклам. Поскольку все эти отображения имеют тот же вид, что и (32,5), то можно сразу заключить, что -циклы () становятся неустойчивыми при Соответствующие же критические значения исходного параметра к получаются путем решения цепочки уравнений

графически они даются построением, показанным на рис. 21. Очевидно, что при последовательность этих чисел сходится к конечному пределу — корню уравнения он равен конечному пределу стремятся и масштабные множители: , где

Рис. 21

Легко найти закон, по которому происходит приближение при больших . Из уравнения при малых разностях находим

где Другими словами, , т. е. значения приближаются к пределу по закону геометрической прогрессии. По такому же закону меняются интервалы между последовательными критическими числами: (32,9) можно переписать в эквивалентном виде

(32,10)

В гидродинамическом аспекте, как уже указывалось, параметр надо рассматривать как функцию числа Рейнольдса, соответственно чему появляются критические значения последнего, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода и стремящиеся к конечному пределу

Очевидно, что для этих значений справедливы те же предельные законы (32,9-10) (с той же постоянной ), что и для чисел

Изложенные рассуждения иллюстрируют происхождение основных закономерностей процесса: бесконечное множество бифуркаций, моменты появления которых сходятся к пределу по закону (32,9-10); появление масштабного множителя а. Полученные при этом значения характерных констант, однако, не точны. Точные значения (полученные путем многократного компьютерного итерирования отображения (32,5)) показателя сходимости б (число Фейгенбаума) и масштабного множителя а:

(32,11)

а предельное значение Обратим внимание на сравнительно большое значение ; быстрая сходимость приводит к тому, что предельные законы хорошо выполняются уже после небольшого числа удвоений периода.

Дефект произведенного вывода состоит и в том, что после пренебрежения всеми степенями кроме первой, отображение (32,8) позволяет установить лишь факт возникновения следующей бифуркации, но не дает возможности определить все элементы описываемого этим отображением . В действительности итерированные отображения (32,5) представляют собой полиномы по степень которых при каждой итерации возрастает вдвое. Они представляют собой сложные функции от с быстро возрастающим числом экстремумов, симметрично расположенных по отношению к точке (которая тоже всегда остается экстремумом).

Замечательно, что не только значения и а, но и предельный вид самого бесконечно кратно итерированного отображения оказываются в определенном смысле независящими от вида начального отображения : достаточно, чтобы зависящая от одного параметра функция была гладкой функцией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точке ); она не обязана даже быть симметричной относительно этой точки вдали от нее.

Это свойство универсальности существенно увеличивает степень общности излагаемой теории. Его точная формулировка состоит в следующем.

Рассмотрим отображение, задаваемое функцией (функция ) с определенным выбором — см. ниже), нормированной условием Применив его дважды, получим функцию . Изменим масштаб как самой этой функции, так и переменной раз; таким образом получим новую функцию

для которой снова будет . Повторяя эту операцию, получим последовательность функций, связанных рекуррентным соотношением

(32,12)

Если эта последовательность стремится при к некоторой определенной предельной функции эта последняя должна быть «неподвижной функцией» определенного в (32,12) оператора , т. е. должна удовлетворять функциональному уравнению

(32,13)

В силу предположенных свойств допустимых функций функция должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке никакого другого следа от конкретного вида в уравнении (32,13) или в налагаемых на его решение условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных при выводе масштабных преобразований () решение уравнения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной от до (а не только на интервале . Функция автоматически является четной по она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций.

Такое решение уравнения (32,13) действительно существует и единственно (хотя и не может быть построено в аналитическом виде); оно представляет собой функцию с бесконечным числом экстремумов, неограниченную по своей величине; постоянная а определяется вместе с самой функцией Фактически достаточно построить эту функцию на интервале после чего она может быть продолжена за его пределы итерированием операции Т.

Обратим внимание на то, что на каждом шаге итерирования Т в (32,12) значения функции на интервале определяются значениями функции на сокращенной в раз части этого отрезка. Это значит, что в пределе многократных итераций для определения функции на интервале [-1,1] (а тем самым и на всей оси х) существенны все меньшие и меньшие части исходной функции вблизи ее максимума; в этом и состоит, в конечном итоге, источник универсальности.

Функция определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции значении параметра Ясно поэтому, что функции, образованные из путем многократного итерирования преобразования (32,12), действительно сходятся к лишь при этом изолированном значении . Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра от значения Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной — снова без всякой связи с конкретным видом функции

Масштабный множитель а определяет изменение — уменьшение геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода; этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси Поскольку, однако, каждое удвоение сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками. Действительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьшится в раз; если же преобразование происходит через участок функции отображения вблизи ее экстремума — расстояние сократится в раз.

В момент бифуркации (при ) каждый элемент (точка) -цикла расщепляется на пару — две близкие точки, расстояние между которыми постепенно возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения до следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. при последовательных отображениях ), то каждая из компонент пары перейдет в другую через единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес.

Расположим все элементы -цикла в том порядке, в котором они обходятся со временем, и обозначим их как , где время t (измеренное в единицах основного периода ) пробегает целочисленные значения Эти элементы возникают из элементов -цикла расщеплением последних на пары. Интервалы между точками каждой пары даются разностями

(32,14)

где — период -цикла, т. e. половина периода -цикла. Введем функцию — масштабный множитель, определяющий изменение интервалов (32,14) при переходе от одного цикла к следующему):

(32,15)

Очевидно, что

(32,16)

и поэтому

(32,17)

Функция имеет сложные свойства, но можно, показать, что ее предельный (при больших ) вид с хорошей точностью аппроксимируется простым образом:

(при надлежащем выборе начала отсчета t).

Эти формулы позволяют сделать некоторые заключения об изменении спектра (частотного) движения жидкости, претерпевающей удвоения периода. В гидродинамическом аспекте величину надо понимать как характеристику скорости жидкости. Для движения с периодом спектр функции (от непрерывного времени ) содержит частоты — основную частоту и ее гармоники. После удвоения периода течение описывается функцией с периодом Ее спектральное разложение содержит, наряду с теми же частотами еще и субгармоники частоты сот — частоты

Представим в виде

где — разность (32,14), а

Спектральное разложение содержит только частоты компоненты Фурье для субгармоник,

обращаются в нуль в силу равенства . С другой стороны, величины в первом приближении не меняются при бифуркации: это значит, что интенсивность колебаний с частотами тоже остается неизменной.

Спектральное же разложение величин содержит, напротив, только субгармоники новые частоты, появляющиеся на шаге удвоений. Суммарная интенсивность этих спектральных компонент определяется интегралом

(32,19)

Выразив через пишем

С учетом (32,16-18) получим

и окончательно

(32,20)

Таким образом, интенсивность новых спектральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М. J. Feigenbaum, 1979).

Обратимся к изучению эволюции свойств движения при дальнейшем увеличении параметра за значением (числа Рейнольдса ) — в «турбулентной» области. Поскольку в момент своего рождения (при ) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно считать, что и при значениях , незначительно превосходящих допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения.

Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода, в момент своего рождения не является странным в определенном в § 31 смысле: -цикл», возникающий как предел устойчивых -циклов при тоже устойчив. Точки этого аттрактора образуют на отрезке несчетное множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т. е. полная «длина» совокупности его элементов) равна нулю; его размерность лежит между 0 и 1 и оказывается равной 0,542).

При аттрактор становится странным — притягивающим множеством неустойчивых траекторий. На отрезке принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина которых отлична от нуля. Эти отрезки — следы на секущей поверхности а непрерывной двумерной ленты, совершающей большое число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним в этой связи о приближенности одномерного рассмотрения. В действительности эта лента имеет небольшую, но конечную толщину. Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют собой в действительности полоски конечной ширины. Вдоль этой ширины странный аттрактор имеет канторову структуру описанного в предыдущем параграфе слоистого характера.

Ниже эта структура нас не будет интересовать, и мы возвращаемся к рассмотрению в рамках одномерного отображения Пуанкаре.

Эволюция свойств странного аттрактора при увеличении X. за состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении аттрактор заполняет ряд интервалов отрезке участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого и меньше. При увеличении X скорость разбегания траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он «разбухает», последовательна поглощая циклы периодов при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширины увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого -цикла называют обратной бифуркацией удвоения.

Рис. 22

Рис. 22 иллюстрирует этот процесс для двух последних обратных бифуркаций. На рис. 22, а лента совершает четыре оборота, обратная бифуркация превращает ее в ленту с двумя оборотами (рис. 22, б); наконец, последняя бифуркация приводит к ленте, совершающей всего один оборот и замыкающейся на себя, предварительно «перекрутившись» (рис. 22, в).

Обозначим значения параметра , отвечающие последовательным обратным бифуркациям удвоения через причем они расположены в последовательности Покажем, что эти числа удовлетворяют закону геометрической прогрессии с тем же универсальным показателем , что и для прямых бифуркаций.

Перед последней (при увеличении ) обратной бифуркацией аттрактор занимает два интервала, разделенных промежутком, в котором находится неподвижная точка отображения (32,5), отвечающая неустойчивому циклу периода 1:

Бифуркация произойдет при значении когда границы расширяющегося аттрактора достигнут этой точки. Из рис. 22, б видно, что внешняя граница аттрактора (ленты) после одного оборота становится его внутренней границей, а еще через оборот — границей интервала, разделяющего витки. Отсюда ясно, что значение определяется условием где

есть результат двукратной итерации отображения над точкой -границей аттрактора (это значение ). Моменты предшествующих обратных бифуркаций могут быть приближенно определены одно за другим с помощью рекуррентного соотношения, связывающего Это приближенное соотношение выводится тем же способом, которым была рассмотрена выше последовательность прямых бифуркаций удвоения и имеет вид с той же функцией из (32,7). Соответствующее графическое построение показано на верхней части рис. 21. Поскольку функция для последовательностей прямых и обратных бифуркаций одна и та же, то одинаков и закон, по которому последовательности чисел сходятся (соответственно снизу и сверху) к общему пределу :

(32,21)

Эволюция свойств странного аттрактора при сопровождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем «шумовой» компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные пики, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники — в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спектральных пиков.

Переход к турбулентности через перемежаемость

Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при прохождении мультипликатора через значение

Этот тип бифуркации описывается (в рамках одномерного отображения Пуанкаре) функцией которая при определенном значении параметра (числа Рейнольдса), касается прямой Выбрав точку касания в качестве напишем вблизи нее разложение функции отображения в виде

(32,22)

При (см. рис. 23) существуют две неподвижные точки

из которых одна отвечает устойчивому, а другая — неустойчивому периодическому движению. При мультипликатор в обоих точках становится равным оба периодических движения сливаются и при исчезают (неподвижные точки переходят в комплексную область).

Рис. 23

При малой надкритичности расстояние между линией (32,22) и прямой мало (в области вблизи ). На этом интервале значений , следовательно, каждая итерация отображения (32,22) лишь незначительно перемещает след траектории, и для прохождения им всего интервала потребуется много шагов. Другими словами, на сравнительно большом промежутке времени траектория в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти периодический характер. Такой траектории отвечает в физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сценарий возникновения турбулентности (P. Manneville, Y. Pomeau, 1980).

Можно представить себе, что к рассмотренному участку функции отображения примыкают участки, приводящие к хаотизации траекторий; им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, само по себе не является аттрактором и с течением времени точка, изображающая систему, его покидает.

При траектория выходит на устойчивый цикл, т. е. в физическом пространстве устанавливается ламинарное периодическое движение. При устойчивый цикл отсутствует и возникает движение, в котором «турбулентные» периоды чередуются с ламинарными (отсюда название сценария — переход через перемежаемость).

О длительности турбулентных периодов нельзя сделать каких-либо общих заключений. Зависимость же длительности ламинарных периодов от надкритичности легко выяснить. Для этого напишем разностное уравнение (32,22) в виде дифференциального. Имея в виду малость изменения на одном шаге отображения, заменим разность производной по непрерывной переменной

(32,23)

Найдем время , необходимое для прохождения отрезка между точками лежащими по обе стороны точки на расстояниях, больших по сравнению с но еще в области применимости разложения (32,22). Имеем

откуда

(32,24)

чем и определяется искомая зависимость; длительность ламинарных периодов убывает с ростом надкритичности.

В этом сценарии остается открытым как вопрос о пути подхода к его началу, так и вопрос о природе возникающей турбулентности.