§ 68. Распространение звука в движущейся среде

Соотношение между частотой и волновым вектором имеет место только для монохроматической звуковой волны, распространяющейся в неподвижной среде. Нетрудно получить аналогичное соотношение для волны, распространяющейся в движущейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе координат).

Рассмотрим однородный поток жидкости со скоростью и. Назовем неподвижную систему координат системой К и введем также систему К координат движущуюся относительно системы К со скоростью . В системе К жидкость неподвижна, и монохроматическая волна в ней имеет обычный вид:

Радиус-вектор в системе К связан с радиусом-вектором в системе К равенством Поэтому в неподвижной системе координат волна имеет вид

Коэффициент при t в показателе есть частота волны. Таким образом, в движущейся среде частота связана с волновым вектором к соотношением

Скорость распространения волн равна

это есть геометрическая сумма скорости с в направлении к и скорости и «сноса» звука вместе с движущейся жидкостью.

Определим плотность энергии звуковой волны в движущейся среде. Полная мгновенная плотность энергии дается выражением

(ср. (65,1); индекс 0 у невозмущенных значений величин опускаем). Первый член здесь — энергия невозмущенного течения. Следующие два члена — первого порядка малости, но при усреднении по времени они дадут величины второго порядка, связанные с энергией возбуждаемого волной среднего течения. Все эти члены следует опустить и, таким образом, интересующая нас плотность энергии звуковой волны как таковой дается заключенными в скобки тремя последними членами. Скорость и изменение давления в плоской волне в движущейся среде связаны соотношением

которое следует из линеаризованного уравнения Эйлера

Учитывая также (68,1), найдем окончательно, что плотность звуковой энергии в движущейся среде:

где — плотность энергии в системе отсчета, движущейся вместе со средой.

С помощью формулы (68,1) можно рассмотреть эффект Доплера, заключающийся в том, что частота звука, воспринимаемого наблюдателем, движущимся относительно источника, не совпадает с частотой колебаний последнего.

Пусть звук, испускаемый неподвижным (относительно среды) источником, воспринимается наблюдателем, движущимся со скоростью и. В покоящейся относительно среды системе К имеем , где — частота колебаний источника. В системе же К, движущейся вместе с наблюдателем, среда движется со скоростью — , и частота звука будет согласно Вводя угол между направлением скорости и и волнового вектора к и полагая найдем, что воспринимаемая движущимся наблюдателем частота звука равна

В некотором смысле обратным случаем является распространение в неподвижной среде звуковой волны, испускаемой движущимся источником. Пусть и обозначает теперь скорость движения источника. Перейдем от неподвижной системы координат к системе К, движущейся вместе с источником; в системе К жидкость движется со скоростью — . В системе К, где источник покоится, частота излучаемой им звуковой волны должна быть равна частоте колебаний, совершаемых источником. Изменив в (68,1) знак перед и и вводя угол между направлениями и и к, будем иметь:

С другой стороны, в исходной неподвижной системе К частота связана с волновым вектором равенством Таким образом, мы приходим к соотношению

Этой формулой определяется связь между частотой колебаний движущегося источника звука и частотой и звука, слышимого неподвижным наблюдателем.

Если источник удаляется от наблюдателя, то угол между его скоростью и направлением приходящей в точку наблюдения волной заключен в пределах я, так что . Из (68,5) следует, таким образом, что если источник движется, удаляясь от наблюдателя, то частота слышимого наблюдателем звука уменьшается (по сравнению с ).

Напротив, для приближающегося к наблюдателю источника так что и частота растет при увеличении скорости .

При и согласно формуле (68,5) «а делается отрицательной, что соответствует тому, что слышимый наблюдателем звук будет в действительности доходить до него в обратном порядке, т. е. звук, излученный источником в более поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше, чем звук, излученный в более ранние моменты.

Как было указано в начале § 67, приближение геометрической акустики соответствует случаю достаточно малых длин волн, т. е. больших значений волнового вектора. Для этого, вообще говоря, частота звука должна быть достаточно велика. Однако в акустике движущихся сред последнее условие становится не обязательным, если скорость движения среды превосходит скорость звука. Действительно, в этом случае k может быть большим даже при равной нулю частоте: из (68,1) получаем при уравнение

которое имеет решения, если . Таким образом, в среде, движущейся со сверхзвуковыми скоростями, могут существовать стационарные малые возмущения, описывающиеся (при достаточно больших k) геометрической акустикой. Это значит, что такие возмущения будут располагаться вдоль определенных линий — лучей.

Рассмотрим, например, однородный сверхзвуковой поток, движущийся с постоянной скоростью и, направление которой выберем в качестве оси Компоненты вектора к, лежащего в плоскости х, у, связаны соотношением

получающимся путем возведения в квадрат обеих частей равенства (68,6). Для определения формы лучей воспользуемся уравнениями геометрической акустики (67,4), согласно которым

Разделив одно из этих уравнений на другое, получим:

Но это отношение есть согласно правилу дифференцирования неявных функций не что иное, как производная (взятая при постоянной, в данном случае равной нулю частоте). Таким образом, уравнение, определяющее форму лучей по заданной зависимости между гласит:

Подставив сюда (68,7), получим:

При постоянном и это уравнение определяет два прямолинейных луча, пересекающих ось под углами , где . К подробному изучению этих лучей мы возвратимся в газодинамике, в которой они играют большую роль.