Задачи
1. В слое вещества между двумя параллельными плоскостями распределены источники тепла с объемной интенсивностью (50,11). Граничные плоскости поддерживаются при постоянной температуре. Найти условие, определяющее возможность установления стационарного распределения температуры (Д. А. Франк-Каменецкий, 1939) .
Решение. Уравнение стационарной теплопроводности в данном случае гласит:
с граничными условиями 
при 
и 
(
— ширина слоя). Вводим безразмерные переменные 
тогда
Интегрируя это уравнение (умножив его на 
) один раз, найдем;
где 
— постоянная. Последняя представляет собой, очевидно, максимальное значение 
, которое ввиду симметрии задачи должно достигаться посередине слоя, т. е. при 
Поэтому вторичное интегрирование с учетом условия 
при 
дает
Произведя интегрирование, получим
Определяемая этим равенством функция 
имеет максимум 
при определенном значении 
если 
то удовлетворяющего граничным условиям решения не существует. Численные значения: 
2. В неподвижную жидкость, в которой поддерживается постоянный градиент температуры, погружен шар. Определить возникающее стационарное распределение температуры в жидкости и шаре.
с граничными условиями
— радиус шара; величины с индексами 1 и 2 относятся соответственно к шару и жидкости) и условием 
на бесконечности (А — заданный градиент температуры). В силу симметрии условий задачи А есть единственный вектор, которым должно определяться искомое решение. Такими решениями уравнения Лапласа являются 
. Замечая, кроме того, что решение должно оставаться конечным в центре шара, ищем температуры 
в виде
определяются из условий при 
и в результате находим:
