Задачи

1. Определить собственные частоты звуковых колебаний жидкости в сосуде, имеющем форму параллелепипеда.

Решение. Ищем решение уравнения (69,2) в виде

причем На стенках сосуда имеем условия:

и аналогично при , где а, b, с — длины сторон параллелепипеда. Отсюда находим , где — произвольные целые числа. Таким образом, собственные частоты равны

2. К отверстию резонатора присоединена тонкая трубочка (сечения , длины l); определить собственную частоту колебаний.

Решение. Поскольку трубочка является тонкой, то при колебаниях, сопровождающихся входом и выходом газа из резонатора, можно считать, что заметной скоростью обладает только газ в трубочке, а скорость газа внутри сосуда практически равна нулю. Масса газа в трубочке есть , а сила, действующая на него, есть — давления газа соответственно внутри резонатора и во внешней среде); поэтому должно быть (k — скорость газа в трубочке).

С другой стороны, для производной от давления по времени имеем а уменьшение — плотности газа в резонаторе в единицу времени можно считать равным вытекающему в единицу времени количеству газа деленному на объем V резонатора. Таким образом, имеем , откуда

Это уравнение дает , где собственная частота равна

Эта частота мала по сравнению с — линейные размеры сосуда), а длина волны соответственно велика по сравнению с

При решении мы подразумевали, что линейная амплитуда колебаний газа в трубочке мала по сравнению с ее длиной l. В противном случае колебания сопровождаются выходом из трубочки наружу заметной доли находящегося в ней газа, и становится неприменимым использованное выше линейное уравнение движения газа в трубочке.