ГЛАВА XV. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА

§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости

Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидродинамике может быть связана не только с большой (сравнимой со скоростью света) скоростью макроскопического движения жидкости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости микроскопического движения составляющих жидкость частиц.

Для вывода релятивистских уравнений гидродинамики необходимо прежде всего установить вид 4-тензора энергии-импульса движущейся жидкости . Напомним, что есть плотность энергии, — плотность компонент импульса, величины составляют тензор плотности потока импульса, плотность же потока энергии отличается от плотности импульса лишь множителем

Поток импульса через элемент поверхности тела есть не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому есть компонента силы, действующей на элемент поверхности, Рассмотрим некоторый элемент объема жидкости и воспользуемся системой отсчета, в которой он покоится (локальная собственная система отсчета, или локальная система покоя; значения величин в ней называют собственными). В такой системе отсчета справедлив закон Паскаля, т. е. давление, оказываемое данным участком жидкости одинаково по всем направлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому можно написать , откуда

Что касается компонент представляющих плотность импульса, то в локальной собственной системе отсчета они равны нулю. Компонента же равна собственной плотности внутренней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой главе посредством .

Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии-импульса имеет вид

Легко найти теперь выражение в любой системе отсчета. Для этого введем - скорость движения жидкости. В локальной системе покоя ее компоненты: Выражение для обращающееся в (133,1) при этих значениях есть

(133,2)

где — тепловая функция единицы объема. Это и есть искомое выражение тензора энергии-импульса

Компоненты написанные в трехмерном виде, равны

Нерелятивистскому случаю соответствуют малые скорости v <С с и малые скорости внутреннего (микроскопического) движения частиц в жидкости. При совершении предельного перехода следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энергия содержит в себе также и энергию покоя составляющих жидкость частиц ( — масса покоя отдельной частицы). Кроме того, надо учесть, что плотность числа частиц отнесена к единице собственного объема; в нерелятивистских же выражениях плотность энергии относится к единице объема в «лабораторной» системе отсчета, в который данный элемент жидкости движется. Поэтому при предельном переходе надо заменить

где — обычная нерелятивистская плотность массы. По сравнению с мала как нерелятивистская плотность энергии (обозначим ее ), так и давление.

Имея все это в виду, найдем, что предельное значение

т. е. совпадает, за вычетом с нерелятивистской плотностью энергии. Соответствующее предельное значение тензора

т. е. совпадает, как и следовало, с обычным выражением для плотности потока импульса, который мы обозначали в § 7 посредством .

Простая связь между плотностью импульса и плотностью потока энергии (отличие в множителе ) теряется в нерелятивистском пределе благодаря тому, что в нерелятивистскую энергию не включается энергия покоя. Действительно, компоненты образуют трехмерный вектор, приближенно равный

Отсюда видно, что предельное значение плотности импульса есть, как и следовало, просто для плотности же потока энергии находим, опустив член выражение совпадающее с найденным в § 6.