§ 95. Изотермический скачок

Рассматривая в § 93 строение ударной волны, мы по существу предполагали, что коэффициенты вязкости и температуропроводности — величины одного порядка, как это обычно и бывает. Возможен, однако, и случай, когда Именно, если температура вещества достаточно высока, то в теплопроводности будет участвовать добавочный механизм — лучистая теплопроводность, осуществляемая находящимся в равновесии с веществом тепловым излучением. На вязкости же (т. е. на переносе импульса) наличие излучения сказывается в несравненно меньшей степени, в результате чего v и может оказаться малым по сравнению с Мы увидим сейчас, что наличие такого неравенства приводит к весьма существенному изменению, структуры ударной волны.

Пренебрегая членами, содержащими вязкость, напишем уравнения (93,2) и (93,3), определяющие структуру переходного слоя, в виде

Правая сторона второго из этих уравнений обращается в нуль лишь на границе слоя. Поскольку температура позади ударной волны должна быть выше, чем впереди нее, то отсюда следует, что на протяжении всей ширины переходного слоя

т. е. температура возрастает монотонно.

Все величины в слое являются функцией одной переменной — координаты а потому и определенными функциями друг от друга. Продифференцировав соотношение (95,1) по V, получим:

Производная у газов всегда положительна. Поэтому знак производной определяется знаком суммы . В состоянии 1 имеем (так как ), а поскольку адиабатическая сжимаемость всегда меньше изотермической, то во всяком случае и

Следовательно, на стороне 1 производная

Если эта производная отрицательна и на всем протяжении ширины переходного слоя, то по мере сжатия вещества (уменьшения V) при переходе со стороны 1 на сторону 2 температура будет монотонно возрастать в согласии с неравенством (95,3). Другими словами, мы будем иметь дело с ударной волной, сильно расширенной благодаря большой теплопроводности (расширение может оказаться столь большим, что самое представление об ударной волне станет условным).

Другая ситуация возникает, если

(это неравенство отвечает достаточно большой интенсивности ударной волны — см. ниже ). Тогда в состоянии 2 будем иметь так что где-то между значениями , в функция будет иметь максимум (рис. 69). Ясно что переход от состояния 1 к состоянию 2 с непрерывным изменением V станет невозможным, так как при этом неизбежно нарушилось бы неравенство (95,3).

В результате мы получим следующую картину перехода от начального состояния 1 к конечному состоянию 2. Сначала идет область, в которой происходит постепенное сжатие вещества от удельного объема до объема V (значение V, при котором впервые становится ) см. рис. 69); ширина этой области, определяющаяся теплопроводностью, может быть весьма значительной.

Сжатие же от V до происходит затем скачком при постоянной (равной ) температуре. Этот разрыв можно назвать изотермическим скачком.

Определим изменения давления и плотности в изотермическом скачке, предполагая газ идеальным. Условие непрерывности потока импульса (95.1), примененное к обоим сторонам скачка, дает

Рис. 69

Для термодинамически идеального газа пишем и, имея а виду, что получим:

Это квадратное уравнение для имеет (помимо тривиального корня ) решение

Выражаем согласно формуле (85,6):

после чего, подставив сюда из (89,1), получим для политропного газа

Поскольку должно быть , то мы находим, что изотермический скачок возникает лишь при отношениях давлений , удовлетворяющих условию

(Rayleigh, 1910). Это условие можно, конечно, получить и непосредственно из (95,4).

Поскольку при данной температуре плотность газа пропорциональна давлению, то отношение плотностей в изотермическом скачке равно отношению давлений:

и стремится увеличении значению