Задачи
1. Определить коэффициент нелинейности а в уравнении (93,7) для распространения звуковых волн в газе.
Решение. Точные гидродинамические уравнения одномерного движения идеального (без диссипации) газа:
Произведем их разложение с учетом членов второго порядка малости. Для этого полагаем
Члены второго порядка о уравнениях можно упростить, приведя их всех к одинаковому виду — содержащему произведение 
Для этого замечаем, что для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси 
(со скоростью с) дифференцирование по t эквивалентно дифференцированию по 
при этом 
После всех этих замен получим из (1) и (2) следующие уравнения:
(индекс 0 у постоянных равновесных значений величин опускаем); здесь использовано также равенство
(
— удельный объем). Дифференцируя уравнения (3) и (5) соответственно по 
и по t и вычтя одно из другого, получим
С той же точностью заменяем в левой стороне этого уравнения 
Наконец, вычеркнув с обоих сторон дифференцирования по 
и сравнив получившееся уравнение с (93,7), найдем для 
значение (93,8).
Уравнение для скорости v можно получить непосредственно из (93,7), не повторяя заново вычислений, подобных произведенным выше. Действительно, сумма членов первого порядка в левой стороне (93,7) содержит оператор 
который надо рассматривать как малый первого порядка: он обращает в ноль функцию 
в ее линейном приближении.
Поэтому мы получим уравнение для функции 
в требуемом приближении, просто заменив в (93,7) 
согласно линейному соотношению 
:
где
Величина 
безразмерна; для политропного газа 
.
2. Путем нелинейной подстановки привести уравнение Бюргерса (93,7а) к виду линейного уравнения теплопроводности (В. Hopf, 1950).
Решение. Подстановкой
уравнение (93,7а) приводится к виду откуда
откуда
где посредством 
обозначена произвольная функция t. Переобозначением (не меняющим искомой функции 
) это уравнение преобразуется к требуемому виду
Решение этого уравнения с начальным условием 
дается формулой (51,3):
Начальная же функция 
связана с начальным значением искомой функции 
равенством
(выбор нижнего предела в интеграле произволен).
