§ 36. Турбулентная струя

Форма, а также и некоторые другие основные свойства турбулентных областей в ряде случаев могут быть установлены уже с помощью простых соображений подобия. Сюда относятся прежде всего различного рода свободные турбулентные струи, распространяющиеся в заполненном жидкостью же пространстве (L. Prandtl, 1925).

В качестве первого примера рассмотрим турбулентную область, возникающую при отрыве потока с края угла, образованного двумя пересекающимися бесконечными плоскостями (на рис. 24 изображен их поперечный разрез). При ламинарном обтекании (рис. 3) поток жидкости, идущей вдоль одной из сторон угла (скажем, в направлении от А к О), плавно поворачивался бы, переходя в поток, идущий вдоль второй плоскости в направлении от края угла (от О к В). При турбулентном же обтекании картина движения оказывается совершенно иной.

Рис. 24

Поток жидкости, идущий вдоль одной из сторон угла, теперь не поворачивается, дойдя до края угла, а продолжает распространяться в прежнем направлении. Вдоль другой же стороны возникает поток жидкости, подтекающей в направлении к краю угла (от В к О). Смешивание обоих потоков происходит в турбулентной области (границы сечения этой области указаны на рис. 24 штриховой линией). Происхождение такой области можно наглядно описать следующим образом. Представим себе такое течение жидкости, при котором идущий от А к О равномерный поток продолжал бы течь в том же направлении, заполняя все пространство кверху от плоскости АО и ее продолжения направо в глубь жидкости, а в пространстве под этой плоскостью жидкость была бы вообще неподвижна.

Другими словами, мы имели бы при этом поверхность разрыва (продолжение плоскости АО) между жидкостью, текущей с постоянной скоростью, и жидкостью неподвижной. Но такая поверхность разрыва является неустойчивой и не может реально существовать (см. § 29). Эта неустойчивость приводит к ее «разбалтыванию» и образованию области турбулентного движения. Подтекающий от В к О поток возникает при этом в результате того, что в область турбулентности должно происходить втекание жидкости извне.

Определим форму области турбулентного движения. Выберем ось указанным на рис. 24 образом; начало координат находится в точке О. Обозначим посредством расстояния от плоскости до верхней и нижней границ турбулентной области; требуется определить зависимость и от . Эту зависимость легко определить непосредственно из соображений подобия. Поскольку все размеры плоскостей бесконечны, то в нашем распоряжении нет никаких характерных для рассматриваемого движения постоянных параметров с размерностью длины. Отсюда следует, что единственной возможной зависимостью величин от расстояния является их прямая пропорциональность:

(36,1)

Коэффициенты пропорциональности являются просто численными постоянными; мы пишем их в виде так что — углы наклона обеих границ турбулентной области к оси Таким образом, область турбулентного движения ограничена двумя плоскостями, пересекающимися вдоль линии края обтекаемого угла.

Значения углов зависят только от величины обтекаемого угла и не зависят, например, от скорости набегающего потока жидкости. Они не могут быть вычислены теоретически; экспериментальные данные дают, например, для обтекания прямого угла значения

Скорости потоков жидкости с обеих сторон угла неодинаковы; их отношение является определенным числом, зависящим опять-таки только от величины угла. При не слишком малых углах одна из скоростей оказывается значительно больше другой — именно, большей является скорость «основного» потока, в направлении которого расположена турбулентная область (поток от А к О).

Так, при обтекании прямого угла скорость потока вдоль плоскости АО в 30 раз больше скорости потока от В к О.

Отметим еще, что разность давлений жидкости по обе стороны турбулентной области очень мала. Так, при обтекании прямого угла оказывается

где — скорость набегающего потока (от А к О), давление в верхнем (вдоль АО), а в нижнем (вдоль ВО) потоках жидкости.

В предельном случае равного нулю обтекаемого угла мы имеем дело просто с краем пластинки, вдоль обеих сторон которой течет жидкость. Угол раствора турбулентной области при этом тоже обращается в нуль, т. е. турбулентная область исчезает; скорости же потоков по обеим сторонам пластинки становятся одинаковыми. При увеличении же угла АОВ наступает момент, когда плоскость ВО касается нижней границы турбулентной области; угол АОВ является при этом уже тупым. При дальнейшем увеличении угла АОВ область турбулентности будет оставаться ограниченной с одной стороны поверхностью твердой стенки. По существу, мы имеем при этом дело просто с явлением отрыва, с линией отрыва вдоль края угла. Угол раствора турбулентной области остается все время конечным.

В качестве следующего примера рассмотрим задачу о бьющей из конца тонкой трубки турбулентной струе, распространяющейся в неограниченном пространстве, заполненном той же жидкостью (задача о ламинарном движении в такой «затопленной» струе была решена в § 23). На больших по сравнению с размерами отверстия трубы расстояниях (о которых только и будет идти речь) струя аксиально симметрична вне зависимости от конкретной формы отверстия.

Определим форму области турбулентного движения в струе. Выберем ось струи в качестве оси а радиус области турбулентности обозначим посредством требуется определить зависимость R от отсчитывается от точки выхода струи). Как и в предыдущем примере, эту зависимость легко определить непосредственно из соображений размерности. На расстояниях, больших по сравнению с размерами отверстия трубы, конкретная форма и размеры отверстия не могут играть роли для формы струи. Поэтому в нашем распоряжении нет никаких характеристических параметров с размерностью длины. Отсюда опять следует, что R должно быть пропорционально

(36,2)

где численная постоянная одинакова для всех струй.

Таким образом, турбулентная область представляет собой конус; эксперимент дает для угла раствора этого конуса значение около 25° (рис. 25).

Рис. 25

Движение в струе происходит в основном вдоль ее оси. Ввиду отсутствия каких-либо параметров размерности длины или скорости, которые могли бы характеризовать движение в струе, распределение продольной (средней по времени) скорости их в ней должно иметь вид

где — расстояние от оси струи, а — скорость на оси. Другими словами, профили скорости в различных сечениях струи отличаются только масштабами измерения расстояния и скорости (в этой связи говорят об автомодельности структуры струи). Функция (равная 1 при быстро убывает с увеличением ее аргумента. Она становится равной 1/2 уже при а на границе турбулентной области достигает значения Что касается поперечной скорости, то она сохраняет вдоль сечения турбулентной области примерно одинаковый порядок величины и на границе области равна около будучи направлена здесь внутрь струи. За счет этой поперечной скорости и осуществляется втекание жидкости в турбулентную область. Движение вне турбулентной области можно определить теоретически (см. задачу 1).

Зависимость скорости в струе от расстояния можно определить, исходя из следующих простых соображений. Полный поток импульса в струе через сферическую поверхность (с центром в точке выхода струи) должен оставаться неизменным при изменении ее радиуса. Плотность потока импульса в струе где — порядок величины некоторой средней скорости в струе. Площадь той части поперечного сечения струи, в которой скорость заметно отлична от нуля, порядка величины Поэтому полный поток импульса Подставив сюда (36,2), получим

т. е. скорость падает обратно пропорционально расстоянию от точки выхода струи.

Количество (масса) жидкости Q, протекающей в единицу времени через поперечное сечение турбулентной области струи — порядка величины произведения Подставив сюда (36,2) и (36,4), найдем, что (если две переменные величины, меняющиеся в широких пределах всегда одного порядка величины, то они вообще пропорциональны друг другу; поэтому мы пишем формулу со знаком равенства). Коэффициент пропорциональности здесь удобно выразить не через поток импульса Р, а через количество жидкости выбрасываемой в единицу времени из трубки. На расстояниях порядка величины линейных размеров отверстия трубки а должно быть Отсюда следует, что так что можно написать

где Р — численный коэффициент, зависящий только от формы отверстия. Так, для круглого отверстия с радиусом а эмпирическое значение . Таким образом, расход жидкости через сечение турбулентной области возрастает с расстоянием — жидкость втягивается в турбулентную область

Движение в каждом участке длины струи характеризуется числом Рейнольдса для этого участка, определяемым как

Но в силу (36,2) и (36,4) произведение остается постоянным вдоль струи, так что число Рейнольдса одинаково для всех участков струи. В качестве этого числа может быть выбрано отношение Входящая сюда постоянная является тем единственным параметром, который определяет все движения в струе. При увеличении «мощности» струи (при заданной величине а отверстия) достигается в конце концов некоторое критическое значение числа Рейнольдса, после которого движение делается турбулентным одновременно вдоль всей длины струи.