Задачи

1. Определить силу трения, действующую на каждую из двух параллельных твердых плоскостей, между которыми находится слой вязкой жидкости, причем одна из плоскостей совершает колебательное движение в своей плоскости.

Решение. Ищем решение уравнения (24,3) в виде

и определяем А и В из условий при — расстояние между плоскостями). В результате получаем:

Сила трения (на единицу поверхности) на движущейся плоскости равна

и на неподвижной

(везде подразумеваются вещественные части соответствующих выражений).

2. Определить силу трения, действующую на колеблющуюся плоскость, покрытую слоем жидкости (толщины К), верхняя поверхность которого свободна.

Решение. Граничные условия на твердой плоскости: при , а на свободной поверхности при . Скорость

Сила трения

3. Плоский диск большого радиуса R совершает вращательные колебания вокруг своей оси с малой амплитудой (угол поворота диска определить момент сил трения, действующих на диск.

Решение. Для колебаний с малой амплитудой член в уравнении движения всегда мал по сравнению с независимо от величины частоты . Если , то при определении распределения скоростей плоскость диска можно считать неограниченной. Выбираем цилиндрические координаты с осью по оси вращения и ищем решение в виде Для угловой скорости жидкости получаем уравнение

Решение этого уравнения, обращающееся в при и в нуль при есть

Момент сил трения, действующих на обе стороны диска, равев

4. Определить движение жидкости между двумя параллельными плоскостями при наличии градиента давления, меняющегося со временем по гармоническому закону.

Решение. Выбираем плоскость посередине между обеими плоскостями; ось направлена по градиенту давления, который пишем в виде

Скорость направлена везде по оси и определяется уравнением

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям при есть

Среднее (по сечению) значение скорости равно

При это выражение переходит в

в согласии с (17,5), а при получается

в соответствии с тем, что в этом случае скорость должна быть почти постоянной вдоль сечения и заметно меняется лишь в узком пристеночном слое.

5. Определить силу сопротивления, испытываемую шаром (радиуса R), совершающим в жидкости колебательное поступательное движение.

Решение. Скорость шара пишем в виде Аналогично тому» как мы поступали в § 20, ищем скорость жидкости в виде

где — функция только от (начало координат выбираем в точке нахождения центра шара в данный момент времени). Подставляя в (24,9) и производя; преобразования, аналогичные произведенным в § 20, получаем уравнение

(вместо уравнения в § 20). Отсюда имеем:

решение выбрано экспоненциально затухающее, а не возрастающее с . Интегрируя, получаем:

(самую функцию f можно не выписывать, так как в скорость входят только производные ). Постоянные а и b определяются из условия при и оказываются равными

Отметим, что при больших частотах что соответствует (в согласии с утверждениями § 24) потенциальному движению (определенному в задаче 2 § 10).

Сила сопротивления вычисляется по формуле (20,13), в которой интегрирование производится по поверхности шара. Результат:

При эта формула переходит в формулу Стокса. При больших же частотах получается:

Первый член в этом выражении соответствует инерционной силе при потенциальном обтекании шара (см. задачу 1 § 11), а второй дает предельное выражение для диссипативной силы. Этот второй член можно было бы найти и путем вычисления диссипируемой энергии по формуле следующую задачу).

6. Найти предельное (при больших частотах, ) выражение диссипативной силы сопротивления, действующей на бесконечный цилиндр (радиуса R), совершающий колебания в направлении перпендикулярном своей оси.

Решение. Распределение скоростей вокруг обтекаемого в поперечном направлении неподвижного цилиндра дается формулой

(см. задачу 3 к § 10). Отсюда находим для тангенциальной скорости на поверхности цилиндра:

( — полярные координаты в поперечной плоскости; угол отсчитывается от направления и) По (24,14) находим диесипируемую энергию (отнесенную к единице длины цилиндра):

Сравнение с формулами дает для искомой силы:

7. Определить силу сопротивления, действующую на произвольно движущийся шар (скорость шара есть заданная функция времени ).

Решение Разлагаем и в интеграл Фурье:

В силу линейности уравнений полная сила сопротивления может быть написана в виде интеграла от сил сопротивления, получающихся при движении со скоростями, равными отдельным компонентам Фурье эти силы определяются выражением (3) задачи 5 и равны

Замечая, что переписываем это в виде

При интегрировании по в первом и втором членах получаем соответственно Для интегрирования третьего члена раньше всего замечаем, что для отрицательных со надо писать этот член в комплексно сопряженном виде, написав в нем вместо (это связано с тем, что полученная в задаче 5 формула (3) выведена для скорости с положительным ; для скорости же получилась бы комплексно сопряженная величина). Поэтому вместо интеграла по в пределах от до можно написать удвоенную вещественную часть интеграла от 0 до Пишем:

Таким образом, получаем окончательное выражение для силы сопротивления

8. Определить силу сопротивления для шара, начинающего в момент двигаться равноускоренно по закону

Решение. Полагая в формуле (4) задачи при при получаем (при

9. То же для шара, мгновенно приведенного в равномерное движение. Решение. Имеем при при Производная равна нулю всегда, кроме момента в который она обращается в бесконечность, причем так, что интеграл от по времени конечен и равен В результате получаем для всего времени

здесь есть -функция. При это выражение асимптотически приближается к значению, даваемому формулой Стокса. Импульс силы сопротивления, испытываемый шаром в течение бесконечно малого интервала времени вокруг получается интегрированием по времени последнего члена в Р и равен

10. Определить момент сил, действующих на шар, совершающий в вязкой жидкости вращательное колебательное движение вокруг своего диаметра.

Решение. По тем же причинам, что и в задаче 1 § 20, в уравнении движения можно не писать члена с градиентом давления, так что имеем

Ищем решение в виде

где угловая скорость вращения шара. Для f получаем теперь вместо уравнения следующее уравнение:

Опуская несущественный постоянный член в решении этого уравнения, имеем отсюда (выбирается решение, которое обращается на бесконечности в нуль). Постоянную а определяем из предельного условия на поверхности шара и в результате получаем:

(R - радиус шара). Вычисление, аналогичное произведенному в задаче 1 § 20, приводит к следующему выражению для момента сил, действующих на шар со стороны жидкости:

При (т. е. ) получается выражение соответствующее равномерному вращению шара (см. задачу 1 § 20). В обратном же предельном случае получается:

Это выражение можно получить и непосредственным путем: при каждый элемент поверхности шара можно рассматривать как плоский, а действующую на него силу трения определить по формуле (24,6), подставив в нее скорость

11. Определить момент сил, действующих на наполненный вязкой жидкостью полый шар, совершающий вращательное колебательное движение вокруг своего диаметра.

Решение. Ищем скорость в том же виде, как и в предыдущей задаче. Для f берем решение, конечное во всем объеме внутри шара, включая его центр: . Определяя а из граничного условия, получаем:

Вычисление момента сил трения приводит к выражению

Предельное выражение при совпадает, естественно, с соответствующим выражением предыдущей задачи. Если же , то

Первый член в этой формуле соответствует инерционным силам, возникающим при вращении всей массы жидкости как целого.