Задачи

1. Исследовать устойчивость (по отношению к бесконечно малым возмущениям) тангенциальных разрывов в однородной сжимаемой среде (газ или жидкость).

Решение. Вычисления аналогичны произведенным в § 29 для несжимаемой жидкости. Как и там, по нормали к поверхности направим ось .

В среде 2 (со скоростью давление удовлетворяет уравнению

(вместо уравнения Лапласа (29,2) в несжимаемой жидкости). Ищем в виде

где волновое число «ряби» на поверхности обозначено через q (вместо k в § 29); если комплексно, то оно должно быть выбрано так, чтобы было Волновое уравнение приводит к соотношению

Вместо (29,7) тем же образом находим теперь

В газе движущемся со скоростью ищем в виде

Для упрощения выводов предположим сначала, что скорость v направлена тоже по оси Соотношение между со, дается формулой

(ср. (68,1)). Вместо (29,6) получаем теперь

и условие приводит к уравнению

От сделанного выше предположения о направлении скорости v можно избавиться, заметив, что невозмущенная скорость входит в исходные линеаризованные уравнение непрерывности и уравнение Эйлера только в комбинации (соответственно в членах ). Поэтому для перехода к произвольному направлению v (в плоскости ) достаточно заменить в (1) — (3) v на где — угол между v и примечание на с. 155).

Исключив из (1)-(3), получим следующее дисперсионное уравнение для определения частоты возмущения со по волновому числу

Корень первого множителя

всегда веществен. Корни второго множителя:

эти корни вещественны только при где

Таким образом, при дисперсионное уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней, одного из которых будет Соответствующие возмущения приводят к неустойчивости. При таковы возмущения с любым углом а при неустойчивы только возмущения С . В результате тангенциальный разрыв неустойчив всегда. Отметим, что сам факт неустойчивости (если не интересоваться по отношению к каким именно возмущениям) очевиден уже из неустойчивости в случае несжимаемой жидкости в совокупности с тем обстоятельством, что в дисперсионное уравнение скорость v входит только в комбинации какова бы ни была скорость v, найдутся такие углы для которых так что по отношению к таким возмущениям среда ведет себя как несжимаемая

2. На тангенциальный разрыв в однородной сжимаемой среде падает плоская звуковая волна; определить интенсивности отраженной от разрыва волны и волны, преломленной на нем (J. W. Miles, 1957; Н. S. Ribner, 1957).

Решение. Выбираем оси координат, как в предыдущей задаче, причем скорость v (в среде направлена по оси Пусть звуковая волна падает из неподвижной среды (среда направление ее волнового вектора к задается сферическими углами угол — между к и осью , угол — между проекцией к на плоскость (обозначим ее q) и скоростью

причем (волна падает в положительном направлении оси ), В среде 2 ищем давление в виде

где A — амплитуда отраженной волны, а амплитуда падающей волны условно принята за единицу. В среде 1 имеем одну преломленную волну:

где удовлетворяет уравнению

(ср. (2)).

Амплитуды А и В определяются из условий непрерывности давления и вертикального смещения жидких частиц по обе стороны разрыва: при Это дает два уравнения

откуда

чем и решается поставленная задача. Знак величины

должен быть выбран с учетом предельных условий при скорость преломленной волны должна быть направлена от разрыва, т. е.

Из полученных формул видно, что возможны три различных режима отражения.

1) При величина вещественна, а поскольку то согласно условию Из (8) видно, что при этом — отражение происходит с ослаблением волны.

2) При величина мнима и — происходит полное внутреннее отражение звуковой волны.

3) При (что возможно лишь при величина снова вещественна, но теперь надо выбрать Согласно (8) при этом т. е. отражение происходит с усилением волны. Более того, знаменатели выражений (8) с могут обратиться в нуль при определенных углах падения волны, и тогда коэффициент отражения обращается в бесконечность. Поскольку этот знаменатель совпадает (с точностью до обозначений) с левой стороной уравнения (3) предыдущей задачи, то можно сразу заключить, что «резонансные» углы падения определяются равенствами (5) и (6) (последнее — при . В свою очередь, бесконечность коэффициента отражения (и прохождения), т. е. конечность амплитуды отраженной волны при стремящейся к нулю амплитуде падающей волны, означает возможность спонтанного излучения звука поверхностью разрыва: раз созданное на ней возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать звуковые волны, не затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемым звуком, черпается из всей движущейся среды.

Плотность потока энергии (усредненная по времени) в преломленной волне

из (68,3)). В случае 3 имеем а потому и — энергия приходит к разрыву из движущейся среды, что и служит источником усиления. При спонтанном излучении звука эта приходящая энергия совпадает с энергией, уносимой волной, уходящей в неподвижную среду.

В изложенном решении задачи неустойчивость поверхности разрыва не учитывается. Формальная корректность такой постановки задачи связана с тем, что звуковые волны и неустойчивые поверхностные (затухающие при ) волны представляют собой линейно независимые колебательные моды. Физическая же корректность требует соблюдения специальных условий (например, начальных), в которых поверхностные волны еще достаточно слабы.