Главная > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 23. Точные решения уравнений движения вязкой жидкости

Если нелинейные члены в уравнениях движения вязкой жидкости не исчезают тождественно, решение этих уравнений представляет большие трудности, и точные решения могут быть получены лишь в очень небольшом числе случаев. Такие решения представляют существенный интерес — если не всегда физический (ввиду фактического возникновения турбулентности при достаточно больших значениях числа Рейнольдса), то, во всяком случае, методический.

Ниже приводятся примеры точных решений уравнений движения вязкой жидкости.

Увлечение жидкости вращающимся диском

Бесконечный плоский диск, погруженный в вязкую жидкость, равномерно вращается вокруг своей оси. Требуется определить движение жидкости, приводимой в движение диском (Т. Karman, 1921). Выбираем плоскость диска в качестве плоскости цилиндрических координат. Диск вращается вокруг оси с угловой скоростью Рассматриваем неограниченную жидкость с той стороны диска, где Предельные условия имеют вид:

Аксиальная скорость не исчезает при а стремится к постоянному отрицательному пределу, определяющемуся из самих уравнений движения. Дело в том, что, поскольку жидкость движется радиально по направлению от оси вращения, в особенности вблизи диска, для обеспечения непрерывности в жидкости должен существовать постоянный вертикальный поток по направлению из бесконечности к диску. Решение уравнений движения ищем в виде

В этом распределении радиальная и круговая скорости пропорциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикальная скорость постоянна вдоль каждой горизонтальной плоскости.

Подстановка в уравнения Навье — Стокса и уравнение непрерывности приводит к следующим уравнениям для функций F, G, Н, Р:

(штрих означает дифференцирование по ) с предельными условиями:

Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено численным образом. На рис. 7 изображены полученные таким способом графики функций F, G, —Н. Предельное значение функции Н при равно —0,886; другими словами, скорость потока жидкости, текущего из бесконечности к диску, равна

Сила трения, действующая на единицу поверхности диска по направлению, перпендикулярному к его радиусу, есть

Пренебрегая эффектами от краев диска, можно написать для диска большого, но конечного радиуса R момент действующих на него сил трения в виде

(множитель 2 деред интегралом учитывает наличие у диска двух сторон, омываемых жидкостью). Численное вычисление функции G приводит к формуле

Течения в диффузоре и конфузоре

Требуется определить стационарное движение жидкости между двумя плоскими стенками, наклоненными друг к другу под углом (на рис. 8 изображен поперечный разрез обеих плоскостей); истечение происходит вдоль линии пересечения плоскостей (G. Hamel, 1917).

Рис. 7

Рис. 8

Выбираем цилиндрические координаты с осью вдоль линия пересечения плоскостей (точка О на рис. 8) и углом отсчитываемым указанным на рис. 8 образом. Движение однородно вдоль оси , и естественно предположить, что оно будет чисто радиальным, т. е. Уравнения (15,18) дают

Из последнего уравнения видно, что есть функция только от Введя функцию

получаем из (23,6):

откуда

Подставляя это выражение в (23,5), получаем уравнение

откуда видно, что как левая, так и правая части, зависящие соответственно только от и только от , являются, каждая в отдельности, постоянной величиной, которую мы обозначим как Таким образом:

откуда

и окончательно имеем для давления

(23,8)

Для имеем уравнение

которое после умножения на и и первого интегрирования дает

Отсюда получаем:

чем и определяется искомая зависимость скорости от ; функция может быть выражена отсюда посредством эллиптических функций. Три постоянные определяются из граничных условий на стенках

(23,10)

и из условия, что через любое сечение проходит (в 1 сек.) одинаковое количество жидкости Q:

(23,11)

Q может быть как положительным, так и отрицательным. Если то линия пересечения плоскостей является источником, т. е. жидкость вытекает из вершины угла (о таком течении говорят как о течении в диффузоре). Если то эта линия является стоком, и мы имеем дело со сходящимся к вершине угла течением (или, как говорят, с течением в конфузоре). Отношение является безразмерным и играет роль числа Рейнольдса для рассматриваемого движения.

Рассмотрим сначала конфузорное движение Для исследования решения (23,9-11) сделаем оправдывающееся в дальнейшем предположение, что движение симметрично относительно плоскости причем функция везде отрицательна (скорость направлена везде к вершине угла) и монотонно меняется от значения при до значения при так что есть максимум Тогда при должно быть откуда заключаем, что есть корень кубического многочлена, стоящего под корнем в подынтегральном выражении в (23,9), так что можно написать:

где q — новая постоянная. Таким образом, имеем:

(23,12)

причем постоянные и q определяются из условий

(23,13)

(где ); постоянная q должна быть положительна, в противном случае эти интегралы сделались бы комплексными. Эти два уравнения имеют, как можно показать, решения для и q при любых R и . Другими словами, сходящееся (конфузорное) симметрическое течение (рис. 9) возможно при любом угле раствора и любом числе Рейнольдса. Рассматрим подробнее движение при очень больших R.

Большим R соответствуют также и большие значения Написав (23,12) (для ) в виде

мы видим, что во всей области интегрирования подынтегральное выражение теперь мало, если только не близко к Это значит, что может быть заметно отличным от только при Ф, близких т. е. в непосредственной близости отстенок. Другими словами, почти во всем интервале углов получается и причем, как показывают равенства (23,13), должно быть Самая скорость v равна что соответствует потенциальному невязкому течению со скоростью, не зависящей от угла и падающей по величине обратно пропорционально .

Рис. 9

Рис. 10

Таким образом, при больших числах Рейнольдса течение в конфузоре очень мало отличается от потенциального течения идеальной жидкости. Влияние вязкости проявляется только в очень узком слое вблизи стенок, где происходит быстрое падение скорости от значения, соответствующего потенциальному потоку, до нуля (рис. 10).

Пусть теперь т. е. мы имеем дело с диффузорным течением. Сделаем сначала опять предположение, что движение симметрично относительно плоскости и что (теперь ) монотонно меняется от нуля при до и при Вместо (23,13) пишем теперь:

(23,14)

Если рассматривать как заданное, то а монотонно возрастает с уменьшением q и имеет наибольшее возможное значение при

С другой стороны, как легко убедиться, при заданном q а есть монотонно убывающая функция от Отсюда следует, что как функция от q при заданном а есть монотонно убывающая функция, так что ее наибольшее значение соответствует и определяется написанным равенством. Наибольшему соответствует также и наибольшее . С помощью подстановки

можно представить зависимость от а в параметрическом виде:

(23,15)

Таким образом, симметричное, везде расходящееся течение в диффузоре (рис. 11, а) возможно для данного угла раствора только при числах Рейнольдса, не превышающих определенного предела.

Рис. 11

При (чему соответствует ) стремится к нулю. При (чему соответствует стремится к бесконечности по закону

При предположение о симметричном, везде расходящемся течении в диффузоре незаконно, так как условия (23,14) не могут быть выполнены.

В интервале углов функция должна иметь несколько максимумов или минимумов. Соответствующие этим экстремумам значения должны по-прежнему быть корнями стоящего под корнем многочлена. Поэтому ясно, что трехчлен должен иметь в этой области два вещественных отрицательных корня, так что стоящее под корнем выражение может быть написано в виде

где пусть . Функция может, очевидно, изменяться в интервале и причем соответствует положительному максимуму — отрицательному минимуму. Не останавливаясь подробнее на исследовании получающихся таким образом решений, укажем, что при возникает сначала решение, при котором скорость имеет один максимум и один минимум, причем движение асимметрично относительно плоскости (рис. 11, б). При дальнейшем увеличении R возникает симметричное решение с одним максимумом и двумя минимумами скорости (рис. 11, в) и т. д. Во всех этих решениях имеются, следовательно, наряду с областями вытекающей жидкости также и области втекающих потоков (но, конечно, так, что полный расход жидкости ). При число чередующихся минимумов и максимумов неограниченно возрастает, так что никакого определенного предельного решения не существует. Подчеркнем, что при диффузорном течении решение не стремится, таким образом, при к решению уравнений Эйлера, как это имеет место при кокфузорном движении. Наконец, отметим, что при увеличении R стационарное диффузорное движение описанного типа вскоре после достижения делается неустойчивым и возникает турбулентность.

Затопленная струя

Требуется определить движение в струе жидкости, бьющей из конца тонкой трубки и попадающей в неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью, — так называемая затопленная струя Ландау, 1943).

Выбираем сферические координаты с полярной осью вдоль направления скорости струи в точке ее выхода, которая выбирается в качестве начала координат. Движение обладает аксиальной симметрией вокруг полярной оси, так что являются функциями только от . Через всякую замкнутую поверхность вокруг начала координат (в частности, через бесконечно удаленную) должен протекать одинаковый полный поток импульса («импульс струи»).

Для этого скорость должна падать обратно пропорционально расстоянию от начала координат, так что

(23,16)

где F, f — некоторые функции только от 0. Уравнение непрерывности гласит:

Отсюда находим, что

(23,17)

Компоненты тензора потока импульса в струе тождественно исчезают, как это явствует уже из соображений симметрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и компоненты и , (оно оправдывается тем, что в результате мы получим решение, удовлетворяющее всем необходимым условиям). С помощью выражений (15,20) для компонент тензора и формул (23,16-17) легко убедиться в том, что между компонентами тензора потока импульса в струе имеется соотношение

Поэтому из равенства нулю ПФЧ, и следует, что и Таким образом, из всех компонент , отлична от нуля только зависящая от как Легко видеть, что при этом уравнения движения удовлетворяются автоматически. Далее, пишем:

или

Решение этого уравнения есть

(23,18)

а из (23,17) получаем теперь для F:

(23,19)

Распределение давления определяем из уравнения

и получаем:

(23,20)

( — давление на бесконечности).

Постоянную А можно связать с «импульсом струи», — полным потоком импульса в ней. Он равен интегралу по сферической поверхности:

Величина равна

и вычисление интеграла приводит к результату

Формулы (23,16-21) решают поставленную задачу. При изменении постоянной А от 1 до импульс струи Р пробегает все значения от до 0.

Рис. 12

Линии тока определяются уравнением

интегрирование которого дает

(23,22)

На рис. 12 изображен характерный вид линий тока. Течение представляет собой струю, вырывающуюся из начала координат и подсасывающую окружающую жидкость. Если условно считать границей струи поверхность с минимальным расстоянием линий тока от оси, то это будет поверхность конуса с углом раствора , где .

В предельном случае слабой струи (малые Р, чему отвечают большие А) имеем из (23,21)

Для скорости получаем в этом случае

(23,23)

В обратном случае сильной струи (большие Р, чему отвечает ) имеем

Для больших углов распределение скоростей определяется формулами

(23,24)

а для малых углов

(23,25)

Полученное здесь решение является точным для струи, рассматриваемой как бьющая из точечного источника. Если учитывать конечные размеры отверстия трубки, то это решение представляет собой первый член разложения по степеням отношения размеров отверстия к расстоянию от него. С этим обстоятельством связан тот факт, что если вычислить по полученному решению полный поток жидкости, проходящей через замкнутую поверхность вокруг начала координат, то он окажется равным нулю. Отличный от нуля поток получился бы при учете следующих членов разложения по указанному отношению.

1
Оглавление
email@scask.ru