§ 51. Теплопроводность в неограниченной среде

Рассмотрим теплопроводность в неограниченной неподвижной среде. Наиболее общей постановкой задачи является следующая. В начальный момент времени задано распределение температуры во всем пространстве:

где — заданная функция координат. Требуется определить распределение температуры во все последующие моменты времени.

Разложим искомую функцию в интеграл Фурье по координатам:

Для каждой фурье-компоненты температуры, , уравнение (50,4) дает:

откуда находим зависимость Т от времени:

Поскольку при должно быть то ясно, что представляет собой коэффициенты фурье-разложения функции

Таким образом, находим:

Интеграл по разбивается на произведение трех одинаковых интегралов вида

где — одна из компонент вектора к (аналогичный интеграл с вместо исчезает в силу нечетности функции ). В результате получаем окончательно следующее выражение:

Эта формула полностью решает поставленную задачу, определяя распределение температуры в любой момент времени по ее заданному распределению в начальный момент.

Если начальное распределение температуры зависит только от одной координаты то, произведя в (51,2) интегрирование по , получим:

Пусть при температура равна нулю во всем пространстве, за исключением одной точки (начала координат), в которой она принимает бесконечно большое значение, но так, что полное количество тепла, пропорциональное интегралу остается конечным. Такое распределение можно представить -функцией:

Интегрирование в формуле (51,2) сводится тогда просто к замене r нулем, в результате чего получается:

С течением времени температура в точке падает как Одновременно повышается температура в окружающем пространстве, причем область заметно отличной от нуля температуры постепенно расширяется (рис. 39).

Ход этого расширения определяется в основном экспоненциальным множителем в (51,5): порядок величины I размеров этой области дается выражением

т. е. растет пропорционально корню из времени.

Аналогично, если в начальный момент времени конечное количество тепла сконцентрировано в плоскости то в последующее время распределение температуры определится формулой

Рис. 39

Формулу (51,6) можно истолковать с несколько иной точки зрения. Пусть I есть порядок величины размеров тела.

Тогда можно утверждать, что если это тело было неравномерно нагрето, то порядок величины времени , в течение которого температуры в разных точках тела заметно выравнятся, равен

Время , которое можно назвать временем релаксации для процесса теплопроводности, пропорционально квадрату размеров тела и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности.

Процесс теплопроводности, описываемый полученными здесь формулами, обладает тем свойством, что влияние всякого теплового возмущения распространяется мгновенно на все пространство. Так, из формулы (51,5) видно, что тепло из точечного источника распространяется так, что уже в следующий момент времени температура среды обращается в нуль лишь асимптотически на бесконечности. Это свойство сохраняется и для среды с зависящей от температуры температуропроводностью если только эта зависимость не приводит к обращению в нуль в какой-либо области пространства. Если же есть функция температуры, убывающая и обращающаяся в нуль вместе с нею, то это приводит к такому замедлению процесса распространения тепла, в результате которого влияние любого теплового возмущения будет простираться в каждый момент времени лишь на некоторую конечную область пространства; речь идет о распространении тепла в среду, температуру которой (вне области влияния) можно считать равной нулю (Я. Б. Зельдович, А, С. Компанеец, 1950; им же принадлежит решение приведенных ниже задач).