§ 107. Сходящаяся сферическая ударная волна

Рядом поучительных особенностей обладает задача о сходящейся к центру ударной волне большой интенсивности 2). Вопрос о конкретном механизме возникновения такой волны нас не будет интересовать; достаточно представлять себе, что волна создана каким-то «сферическим поршнем», сообщающим газу начальный толчок; по мере схождения к центру волна усиливается.

Мы будем рассматривать движение газа на той стадии процесса, когда радиус R сферической поверхности разрыва уже мал по сравнению с ее начальным радиусом — радиусом «поршня» На этой стадии характер движения в значительной степени (ниже будет видно — какой) не зависит от конкретных начальных условий. Ударную волну будем считать уже настолько сильной, что давлением газа перед ней можно (как и в предыдущем параграфе) пренебречь по сравнению с давлением позади нее. Что касается полной энергии газа, заключенной в рассматриваемой (переменной!) области то она отнюдь не постоянна (как будет видно ниже убывает со временем).

Пространственный масштаб рассматриваемого движения может определяться лишь самим, меняющимся со временем, радиусом ударной волны а масштаб скорости — производной

В этих условиях естественно предположить, что движение будет автомодельным, с независимой «автомодельной переменной» Однако зависимость нельзя определить из одних только соображений размерности.

Примем момент фокусировки ударной волны (т. е. момент, когда R обращается в нуль) в качестве Тогда времени до фокусировки отвечают значения Будем искать функцию в виде

(107,1)

с неизвестным заранее показателем автомодельности а. Оказывается, что этот показатель определяется условием существования самого решения уравнений движения (в области ) с надлежащими граничными условиями. Тем самым определяется и размерность постоянного параметра А. Величина же этого параметра остается неопределенной и может быть, в принципе, найдена лишь путем решения задачи о движении газа в целом, т. е. путем сшивки автомодельного решения с решением на расстояниях зависящим от конкретных начальных условий. Именно через этот параметр, и только через него, зависит движение при от способа начального создания ударной волны.

Покажем, как осуществляется решение поставленной таким образом задачи.

Подобно тому, как это было сделано в § 106, введем безразмерные неизвестные функции согласно определениям

(107,2)

где

(при определения (107,2) совпадают с (106,4)). Напомним, что v — радиальная скорость газа относительно неподвижной системы координат, связанной с неподвижным газом внутри сферы газ движется вместе с ударной волной по направлению к центру, чему отвечает (так что

Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области позади ударной волны, и к достаточно малым временам t (при которых ). Но формально получаемое решение охватывает все пространство поверхности разрыва до бесконечности, и все времена ; при этом переменная пробегает все значения от 1 до . Соответственно, граничные условия для функций G, V, Z должны быть поставлены при

Значение отвечает поверхности ударной волны; граничные условия на ней совпадают с (106,6).

Для установления условий на бесконечности (по ) замечаем, что при (в момент фокусировки волны) все величины на всех конечных расстояниях от центра должны оставаться конечными. Но при переменная Для того чтобы функции при этом оставались конечными, функции должны обращаться в ноль,

(107,4)

После подстановки (107,2-3), система уравнений (106,7) принимает вид

(последние два уравнения — ср. с (106,9)). Отметим, что независимая переменная входит в эти уравнения только в виде дифференциала постоянная при этом выпадает из уравнений вовсе и, следовательно, остается неопределенной — в соответствии со сказанным выше.

Коэффициенты при производных в уравнениях (107,5) и- их правые части содержат только V и Z (но не ). Решив эти уравнения относительно производных, мы выразим последние через эти две функции. Таким образом, получим уравнения

(107,7)

(где ). В качестве же третьего напишем уравнение, получающееся делением производной на оно гласит:

Если найдено нужное решение уравнения (107,8), т. е. функциональная зависимость после этого решение уравнений (107,6-7) (нахождение зависимости ) и затем сводится к квадратурам.

Таким образом, вся задача сводится прежде всего к решению уравнения (107,8). Интегральная кривая на плоскости V, Z должна выходить из точки (назовем ее точкой У) с координатами «образа» ударной волны на плоскости V, Z. Указанием этой точки уже определяется решение уравнения (107,8) (при заданном а): интегральная кривая уравнения первого порядка однозначно определяется заданием одной (не особой) ее точки. Выясним условие, позволяющее установить значение а, приводящее к «правильной» интегральной кривой.

Рис. 95

Это условие возникает из очевидного физического требования: зависимости всех величин от должны быть однозначными — каждому значению должны отвечать единственные значения V, G, Z. Это значит, что во всей области изменения переменной функции не должны иметь экстремумов. Другими словами, производные должны нигде не обращаться в нуль. На рис. 95 кривая 1 — парабола

(107,9)

Легко видеть, что точка У лежит над ней. Между тем, интегральная кривая, отвечающая решению поставленной задачи, должна прийти в начало координат — в соответствии с предельным услозием (107,4); поэтому она непременно пересекает параболу (107,9). Но все указанные производные выражаются, согласно (107,6-8), дробными выражениями, в числителе которых стоит разность Для того чтобы эти выражения не обращались в нуль в точке пересечения интегральной кривой с параболой (107,9), должно одновременно быть

(107,10)

Другими словами, интегральная кривая должна проходить через точку пересечения параболы (107,9) с кривой (107,10) (кривая 2 на рис. 95); эта точка — особая точка уравнения (107,8) (производная Этим условием и определяется значение показателя автомодельности а; приведем два значения, получающиеся в результате численных расчетов:

(107,11)

Пройдя через особую точку, интегральная кривая устремляется в начало координат (точка О), отвечающее предельным значениям (107,4). Для уяснения математической ситуации, опишем кратко картину распределения интегральных кривых уравнения (107,8) на плоскости V, Z (при «правильном» значении а), не проводя соответствующих вычислений.

Кривые (107,9) и (107,10) пресекаются, вообще говоря, в двух точках — кружки на рис. 95 (помимо несущественной точки V = 1, Z = 0 на оси абсцисс). Кроме того, уравнение имеет особую точку с в пересечении кривой (107,10) с прямой (обращение в нуль второго множителя в числителе в (107,8)). Точка а, через которую проходит «правильная» интегральная кривая — точка типа седла; точки b и с — узлы. Узловой особой точкой является также и начало координат 0. Вблиаи последнего уравнение (107.8) принимает вид

Элементарное интегрирование этого однородного уравнения показывает, что при функция стремится к нулю быстрее, чем V, а именно

(107,12)

Таким образом, из начала координат выходит бесконечное множество интегральных кривых (отличающихся значением в (107,12)). Все эти кривые входят затем в узел b или узел с — за исключением лишь одной, входящей в седловую точку а (одна из двух сепаратрис — единственных интегральных кривых, проходящих через седло).

Началу координат отвечает т. е. момент фокусировки ударной волны в центре. Определим предельные распределения всех величин по радиальным расстояниям в этот момент. С учетом (107,12) из уравнений (107,6-7) найдем, что

(107,13)

(значения постоянных коэффициентов могут быть найдены только путем фактического численного определения интегральной кривой на всем ее протяжении).

Подставив эти выражения в определения (107,2), получим

Эти законы можно было бы найти и прямо из соображений размерности (после того, как стала известной размерность ). В нашем распоряжении имеется два параметра, и А, и одна переменная ; из них можно составить всего одну комбинацию размерности скорости: величиной же с размерностью плотности является лишь само

Найдем еще закон, по которому меняется со временем полная энергия газа в области автомодельного движения. Размеры (по радиусу) этой области — порядка величины радиуса R ударной волны и уменьшаются вместе с ним. Примем условно за границу автомодельной области некоторое определенное значение Полная энергия газа в сферическом слое между радиусами R и R после введения безразмерных переменных выражается интегралом

(ср. (106,11)). Интеграл здесь — постоянное число. Поэтому находим, что

(107,15)

Для всех реальных значений у, показатель степени здесь положителен. Хотя интенсивность самой ударной волны растет по мере ее приближения к центру, но в то же время уменьшается объем области автомодельного движения и это приводит к уменьшению полной заключенной в ней энергии.

После фокусировки в центре возникает «отраженная» ударная волна, расширяющаяся (при t > 0) навстречу движущемуся к центру газу. Движение в этой стадии тоже автомодельно, с тем же показателем автомодельности а, так что закон расширения Более подробным исследованием этого движения мы здесь заниматься не будем 3).

Таким образом, рассмотренная задача дает пример автомодельного движения, в котором, однако, показатель автомодельности (т. е. вид автомодельной переменной ) не может быть определен из соображений размерности; он определяется лишь, в результате решения самих уравнений движения, с учетом условий, диктуемых физической постановкой задачи.

С математической точки зрения характерно, что эти условия формулируются как требование прохождения интегральной кривой дифференциального уравнения первого порядка через его особую точку. При этом показатель автомодельности оказывается, вообще говоря, иррациональным числом).