ГЛАВА VIII. ЗВУК

§ 64. Звуковые волны

Переходя к изучению движения сжимаемой жидкости (или газа), мы начнем с исследования малых колебаний в ней; колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения.

В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней мала, так что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом . По этой же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Мы будем писать переменные в виде

где — постоянные равновесные плотность и давление жидкости, — их изменения в звуковой волне (). Уравнение непрерывности

при подстановке в него (64,1) и пренебрежении малыми величинами второго порядка ( надо при этом считать малыми величинами первого порядка) принимает вид

(64,2)

Уравнение Эйлера

в том же приближении сводится к уравнению

Условие применимости линеаризованных уравнений движения (64,2) и (64,3) для распространения звуковых волн заключается в малости скорости движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью звука: . Это условие можно получить, например, из требования (см. ниже формулу (64,12)).

Уравнения (64,2) и (64,3) содержат неизвестные функции . Для исключения одной из них замечаем, что звуковая волна в идеальной жидкости является, как и всякое другое движение в такой жидкости, адиабатическим. Поэтому малое изменение давления связано с малым изменением плотности уравнением

Заменив с его помощью на в уравнении (64,2), получим:

Два уравнения (64,3) и (64,5) с неизвестными v и полностью описывают звуковую волну.

Для того чтобы выразить все неизвестные величины через одну из них, удобно ввести потенциал скорости согласно . Из уравнения (64,3) получим равенство

связывающее с (индекс у здесь и ниже мы будем для краткости опускать). После этого найдем из (64,5) уравнение

которому должен удовлетворять потенциал ; здесь введено обозначение

Уравнение вида (64,7) называется волновым. Применив к (64,7) операцию , найдем, что такому же уравнению удовлетворяет каждая из трех компонент скорости v, а взяв производную по времени от (64,7), найдем, что волновому уравнению удовлетворяет и давление (а потому и ).

Рассмотрим звуковую волну, в которой все величины зависят только от одной из координат, скажем, от Другими словами, все движение однородно в плоскости у, такая волна называется плоской. Волновое уравнение (64,7) принимает вид

Для решения этого уравнения вводим вместо новые переменные

Легко убедиться в том, что в этих переменных уравнение (64,9) принимает вид

Интегрируя это уравнение по находим:

где - произвольная функция. Интегрируя еще раз, получим где — произвольные функции. Таким образом,

(64,10)

Функциями такого же вида описывается распределение также и остальных величин () в плоской волне.

Будем говорить для определенности о плотности. Пусть, например, , так что Выясним наглядный смысл этого решения. В каждой плоскости плотность меняется со временем; в каждый данный момент плотность различна для разных Очевидно, что плотность одинакова для координат и моментов времени i, удовлетворяющих соотношениям , или

Это значит, что если в некоторый момент в некоторой точке жидкости ее плотность имеет определенное значение, то промежуток времени t то же самое значение плотность имеет на расстоянии вдоль оси от первоначального места (и то же самое относится ко всем остальным величинам в волне). Мы можем сказать, что картина движения распространяется в среде вдоль оси со скоростью с, называемой скоростью звука.

Таким образом, представляет собой, как говорят, бегущую плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Очевидно, что представляет собой волну, распространяющуюся в противоположном, отрицательном, направлении оси

Из трех компонент скорости в плоской волне отлична от нуля только компонента Таким образом, скорость жидкости в звуковой волне направлена вдоль распространения волны. В связи с этим говорят, что звуковые волны в жидкости являются продольными.

В бегущей плоской волне скорость связана с давлением и плотностью простыми соотношениями. Написав имеем

Сравнив эти выражения, находим:

(64,11)

Подставляя сюда согласно (64,4) , находим связь между скоростью и изменением плотности:

(64,12)

Укажем также связь между скоростью и колебаниями температуры в звуковой волне. Имеем и, воспользовавшись известной термодинамической формулой

и формулой (64,11), получим:

(64,13)

где температурный коэффициент расширения.

Формула (64,8) определяет скорость звука по адиабатической сжимаемости вещества. Последняя связана с изотермической сжимаемостью известной термодинамической формулой

Вычислим скорость звука в идеальном (в термодинамическом смысле слова) газе. Уравнение состояния идеального газа гласит

где R — газовая постоянная, — молекулярный вес. Для скорости звука получим выражение

где посредством у обозначено отношение Поскольку у обычно слабо зависит от температуры, то скорость звука в газе можно считать пропорциональной квадратному корню из температуры. При заданной температуре она не зависит от давления газа.

Весьма важным случаем волн являются монохроматические волны, в которых все величины являются простыми периодическими (гармоническими) функциями времени. Такие функции обычно бывает удобным писать в виде вещественной части комплексного выражения (см. начало § 24). Так, для потенциала скорости напишем

(64,16)

где — частота волны. Функция удовлетворяет уравнению

(64,17)

получающемуся при подстановке (64,16) в (64,7).

Рассмотрим бегущую плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси В такой волне все величины являются функциями только от и потому, скажем, потенциал имеет вид

(64,18)

где А — постоянная, называемая комплексной амплитудой. Написав ее в виде с вещественными постоянными а и а, будем иметь:

(64,19)

Постоянную а называют амплитудой, а аргумент под знаком — фазой волны. Обозначим посредством единичный вектор в направлении распространения волны. Вектор

(64,20)

называют волновым вектором (а его абсолютную величину часто называют волновым числом). С этим обозначением выражение (64,18) записывается в виде

(64,21)

Монохроматические волны играют весьма существенную роль в связи с тем, что всякую вообще волну можно представить в виде совокупности плоских монохроматических волн с различными волновыми векторами и частотами. Такое разложение волны на монохроматические волны является не чем иным, как разложением в ряд или интеграл Фурье (о нем говорят также как о спектральном разложении). Об отдельных компонентах этого разложения говорят как о монохроматических компонентах волны или как о ее компонентах Фурье.