§ 77. Распространение звука по трубке

Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина которой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки может меняться вдоль ее длины как по форме, так и по площади. Важно только, чтобы это изменение происходило достаточно медленно, — площадь S сечения должна мало меняться на расстояниях порядка ширины трубки.

В этих условиях можно считать, что вдоль каждого поперечного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.) постоянны. Направление же распространения волны можно считать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение, определяющее распространение такой волны, удобнее всего вывести методом, аналогичным примененному в § 12 для вывода уравнения распространения гравитационных волн в каналах,

В единицу времени через сечение трубки проходит масса жидкости. Поэтому количество (масса) жидкости в объеме между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки уменьшается в 1 с на

(координата вдоль оси трубки). Поскольку самый объем между обоими сечениями остается неизменным, то это уменьшение может произойти только за счет изменения плотности жидкости.

Изменение плотности в единицу времени есть а соответствующее уменьшение массы жидкости в объеме между двумя сечениями равно

Приравнивая оба выражения, получаем уравнение

представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости в трубке.

Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадратичный по скорости член:

Продифференцируем (77,1) по времени; при дифференцировании правой части этого уравнения надо считать не зависящим от времени, так как при дифференцировании возникает член, содержащий и потому малый второго порядка. Таким образом,

Подставляем сюда для выражение (77,2), а стоящую слева производную от плотности выражаем через производную от давления согласно

В результате получаем следующее уравнение распространения звука в трубке:

В монохроматической волне зависит от времени посредством множителя и (77,3) переходит в

— волновой вектор).

Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из открытого конца трубки. Разность давлений между газом в конце трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому в качестве граничного условия на открытом конце трубки надо с достаточной точностью потребовать обращения давления в нуль. Скорость же газа v у конца трубки при этом оказывается отличной от нуля; пусть есть ее значение здесь. Произведение есть количество (объем) газа, выходящего в единицу времени из конца трубки.

Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как некоторый источник газа с производительностью Задача об излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излучении пульсирующего тела, определяющемся формулой (74,10). Вместо производной V от объема тела по времени мы должны теперь писать величину Таким образом, полная интенсивность излучаемого звука есть