§ 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла

Рассмотрим обтекание хорошо обтекаемого тонкого «крыла» дозвуковым потоком сжимаемого газа. Как и в несжимаемом газе, хорошо обтекаемое дозвуковым потоком крыло должно быть тонким и иметь заостренную заднюю и закругленную переднюю кромки; угол атаки должен быть малым. Выберем направление обтекания в качестве оси х, а ось z — в направлении размаха крыла.

Скорость газа во всем пространстве будет лишь незначительно отличаться от скорости натекающего потока, так что можно применять линеаризованное уравнение (114,4) для потенциала:

На поверхности крыла (которую будем называть поверхностью С) скорость должна быть направлена по касательной к ней; вводя единичный вектор нормали к поверхности крыла, напишем это условие в виде

Поскольку крыло обладает уплощенной формой и угол атаки мал, то нормаль направлена почти параллельно оси у, так что близко к единице, а малы. В написанном условии мы можем поэтому опустить малые члены второго порядка и а вместо написать на верхней поверхности крыла на нижней). Таким образом, граничное условие к уравнению (124,1) приобретает вид

(124,2)

В силу предположенной тонкости крыла значение на его поверхности можно вычислять просто как предел при

Задачу о решении уравнения (124,1) с условием (124,2) можно легко привести к задаче об обтекании несжимаемой жидкостью. Для этого введем вместо координат у, z переменные

В этих переменных уравнение (124,1) принимает вид

т. е. переходит в уравнение Лапласа.

Что касается формы обтекаемой поверхности, то введем вместо нее другую, С, оставив неизменным профиль сечений крыла поверхностями, параллельными плоскости х, у, уменьшив только в отношении все размеры вдоль размаха крыла (оси ).

Граничное условие (124,2) приобретает тогда вид

и для приведения его к обычному виду введем вместо новый потенциал согласно

(124,5)

Для будем иметь то же уравнение Лапласа и граничное условие

(124,6)

которое должно удовлетворяться при

Но уравнение (124,4) с граничным условием (124,6) есть уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости несжимаемой жидкости, обтекающей тело с поверхностью С. Таким образом, задача об определении распределения скоростей при обтекании крыла с поверхностью С сжимаемой жидкостью сводится к нахождению распределения скоростей при обтекании несжимаемой жидкостью крыла с формой поверхности С.

Рассмотрим, далее, действующую на крыло подъемную силу Раньше всего замечаем, что произведенный в § 38 вывод формулы Жуковского (38,4) полностью применим и к сжимаемой жидкости, поскольку вместо переменной плотности жидкости все равно надо в том же приближении писать постоянную величину Таким образом,

(124,7)

где интегрирование производится по всей длине размаха крыла. Из соотношения (124,5) и одинаковости поперечных профилей крыльев следует, что циркуляция Г скорости при обтекании крыла С сжимаемой жидкостью связана с циркуляцией Г скорости при обтекании крыла С несжимаемой жидкостью соотношением

(124,8)

Подставляя это в (124,7) и переходя от интегрирования по к интегрированию по получим:

Величина, стоящая в числителе, представляет собой подъемную силу, действующую на крыло С в несжимаемой жидкости. Обозначая ее посредством имеем:

Вводя коэффициенты подъемной силы

(где — длины крыльев вдоль осей ), перепишем это равенство в виде

(124,10)

Для крыльев достаточно большого размаха (с постоянным вдоль размаха профилем сечения) коэффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости пропорционален углу атаки и не зависит от длины и ширины крыла:

(124,11)

где зависит только от формы профиля сечения (см. § 46). В этом случае можно поэтому написать вместо (124,10)

(124,12)

где коэффициенты подъемной силы одного и того же крыла соответственно в потоках сжимаемого и несжимаемого газа. Таким образом, мы получим такое правило: подъемная сила, действующая на длинное крыло в потоке сжимаемого газа, в раз больше подъемной силы, действующей на такое же крыло (при том же, в частности, угле атаки) в потоке несжимаемого газа (L. Prandtl, 1922; Н. Glauert, 1928).

Аналогичные соотношения можно получить и для силы сопротивления. Наряду с формулой Жуковского для подъемной силы полностью переносится в теорию сжимаемой жидкости также и формула (47,4) для индуктивного сопротивления крыла. Произведя в ней те же преобразования (124,3) и (124,8), получим:

(124,13)

где — сопротивление крыла С в несжимаемой жидкости.

При увеличении длины размаха индуктивное сопротивление стремится к постоянному пределу (§ 47). Поэтому для достаточно длинных крыльев можно заменить на F (сопротивление в несжимаемой жидкости того же крыла С, к которому относится ) Тогда для коэффициента сопротивления имеем:

(124,14)

Сравнив с (124,12), мы видим, что при переходе от несжимаемой жидкости к сжимаемой остается неизменным отношение

Все изложенные здесь результаты, разумеется, неприменимы при слишком близких к единице значениях когда вообще становится неприменимой линеаризованная теория.