§ 54. Теплопередача в пограничном слое

Распределение температуры в жидкости при очень больших числах Рейнольдса обнаруживает особенности, аналогичные тем, которыми обладает и само распределение скоростей. Очень большие значения R эквивалентны очень малой вязкости. Но поскольку число не бывает очень малым, то вместе с v должен рассматриваться как малый и коэффициент температуропроводности . Это соответствует тому, что при достаточно больших скоростях движения жидкость может приближенно рассматриваться как идеальная, — в идеальной жидкости должны отсутствовать как процессы внутреннего трения, так и процессы теплопроводности.

Такое рассмотрение, однако, опять будет неприменимо в пристеночном слое жидкости, поскольку при нем не будут выполняться на поверхности тела ни граничное условие прилипания, ни условие одинаковости температур жидкости и тела. В результате в пограничном слое происходит наряду с быстрым падением скорости также и быстрое изменение температуры жидкости до значения, равного температуре поверхности твердого тела. Пограничный слой характеризуется наличием в нем больших градиентов как скорости, так и температуры.

Что касается распределения температуры в основном объеме жидкости, то легко видеть, что при обтекании нагретого тела (при больших R) нагревание жидкости будет происходить практически только в области следа, между тем как вне следа температура жидкости не изменится. Действительно, при очень больших R процессы теплопроводности в основном потоке не играют практически никакой роли. Поэтому температура изменится только в тех местах пространства, в которые попадает при своем движении нагретая в пограничном слое жидкость. Но мы знаем (см. § 35), что из пограничного слоя линии тока выходят в область основного потока только за линией отрыва, где они попадают в область турбулентного следа. Из области же следа линии тока в окружающее пространство уже не выходят. Таким образом, текущая мимо поверхности нагретого тела в пограничном слое жидкость попадает целиком в область следа, в котором и остается. Мы видим, что тепло оказывается распределенным в тех же областях, в которых имеется отличная от нуля завихренность.

Внутри самой турбулентной области происходит интенсивный теплообмен, обусловленный сильным перемешиванием жидкости, которое характерно для всякого турбулентного движения. Такой механизм теплопередачи можно назвать турбулентной температуропроводностью и характеризовать соответствующим коэффициентом Хтурб, подобно тому как мы ввели понятие о коэффициенте турбулентной вязкости (§ 33). По порядку величины коэффициент турбулентной температуропроводности определяется такой же формулой, как и

Таким образом, процессы теплопередачи в ламинарном и турбулентном потоках являются принципиально различными. В предельном случае сколь угодно малых вязкости и теплопроводности в ламинарном потоке процессы теплопередачи вообще отсутствуют и температура жидкости в каждом месте пространства не меняется. Напротив, в турбулентно движущейся жидкости в том же предельном случае теплопередача происходит и приводит к быстрому выравниванию температуры в различных участках потока.

Рассмотрим сначала теплопередачу в ламинарном пограничном слое. Уравнения движения (39,13) сохраняют свой вид. Аналогичное упрощение должно быть произведено теперь и для уравнения (53,2). Написанное в раскрытом виде это уравнение имеет вид (все величины не зависят от координаты ):

В правой его части можно пренебречь производной по сравнению с так что остается

Из сравнения этого уравнения с первым из уравнений (39,13) ясно, что если число Прандтля — порядка единицы, то порядок величины толщины слоя, в котором происходит падение скорости и изменение температуры Т, будет по-прежнему определяться полученными в § 39 формулами, т. е. будет обратно пропорционален Поток тепла

Поэтому мы приходим к результату, что вместе с ним и число Нуссельта, прямо пропорционально . Зависимость же N от Р остается неопределенной. Таким образом, получаем:

Отсюда, в частности, следует, что коэффициент теплопередачи а обратно пропорционален корню из размеров l тела.

Перейдем теперь к теплопередаче в турбулентном пограничном слое. При этом удобно, как и в § 42, рассмотреть бесконечный плоскопараллельный турбулентный поток, текущий вдоль бесконечной плоской поверхности. Поперечный градиент температуры в таком потоке может быть определен из таких же соображений размерности, какие были использованы для нахождения градиента скорости Обозначим посредством q плотность потока тепла вдоль оси у, вызванного наличием градиента температуры. Этот поток является такой же постоянной (не зависящей от у) величиной, какой является поток импульса о, и наряду с ним может рассматриваться как заданный параметр, определяющий свойства потока. Кроме того, мы имеем теперь в качестве параметров плотность и теплоемкость единицы массы жидкости. Вместо а введем в качестве параметра величину обладают размерностями соответственно .

Что касается коэффициентов вязкости и теплопроводности, то они при достаточно больших R не могут входить в явно.

В силу упоминавшейся уже в § 53 однородности уравнений по температуре можно изменить температуру в любое число раз без того, чтобы нарушить уравнения. Но при изменении температуры должен во столько же раз измениться и поток тепла. Поэтому q и Т должны быть пропорциональны друг другу. Но из и у можно составить всего только одну величину, которая имеет размерность град/см и в то же время пропорциональна q. Такой величиной является Поэтому должно быть

где есть числовая постоянная, которая должна быть определена экспериментально. Отсюда имеем:

Таким образом, температура, как и скорость, распределена по логарифмическому закону. Входящая сюда постоянная интегрирования с, как и при выводе (42,7), должна быть определена из условий в вязком подслое. Полная разность между температурой жидкости в данной точке и температурой стенки (которую мы принимаем условно за нуль) складывается из падения температуры в турбулентном слое и ее падения в вязком подслое. Логарифмическим законом (54,3) определяется только первое из них. Поэтому, если написать (54,3) в виде

введя под знаком логарифма множителем толщину , то (умноженная на множитель, стоящий перед скобкой) должна представлять собой изменение температуры в вязком подслое. Это изменение зависит, конечно, и от коэффициентов v и Поскольку есть величина безразмерная, то она должна иметь вид некоторой функции от числа Р, являющегося единственной безразмерной комбинацией, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении величин (что касается потока тепла q, то он не может входить в , поскольку Т должно быть пропорционально q, a q входит уже в множитель перед скобкой).

Таким образом, получаем закон распределения температуры в виде

(Л. Д. Ландау, 1944). Эмпирическое значение постоянной в этом выражении: Значение функции f для воздуха:

С помощью формулы (54,4) можно рассчитать теплопередачу при турбулентном течении по трубе, при обтекании плоской пластинки и т. п. Мы не станем останавливаться здесь на этом.

Турбулентные пульсации температуры

Говоря выше о температуре турбулентной жидкости, мы подразумевали, конечно, ее усредненное по времени значение. Истинная же температура испытывает в каждой точке пространства крайне нерегулярное изменение со временем, подобное пульсациям скорости.

Будем считать, что существенное изменение средней температуры происходит на тех же расстояниях l (основной масштаб турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения. К мелкомасштабным (масштабы Я <С ) пульсациям температуры можно применить те же общие представления и соображения подобия, которые были уже использованы при рассмотрении локальных свойств турбулентности в § 33. При этом будем считать, что число (в противном случае может оказаться необходимым введение двух внутренних масштабов, определенных по v и по Тогда инерционный интервал масштабов является в то же время конвективным, — выравнивание температур в нем происходит путем механического перемешивания различно нагретых «жидких частиц» без участия истинной теплопроводности; свойства температурных пульсаций в этом интервале не зависят и от крупномасштабного движения. Определим зависимость разностей температур от расстояний Я в инерционном интервале (А. М. Обухов, 1949).

Теплопроводностная диссипация энергии (в единице объема) дается выражением или ниже Разделив его на получим величину, определяющую скорость диссипативного понижения температуры; предполагая турбулентные колебания температуры относительно малыми, можно заменить Т в знаменателе постоянной средней температурой. Введенная таким образом величина представляет собой еще один (наряду с ) параметр, определяющий локальные свойтсва турбулентности в неравномерно нагретой жидкости.

Следуя изложенному в § 33 способу (см. текст после (33,1)), выражаем через величины, характеризующие пульсации масштаба :

Подставив сюда

(согласно (33,2) и (33,6)), получим искомый результат:

Таким образом, для пульсации температуры, как и пульсации скорости, пропорциональны

На расстояниях же температура сглаживается путем истинной теплопроводности. На масштабах температура меняется плавно. По тем же соображениям, что и для скорости (ср. (33,19)), разности здесь пропорциональны .