§ 73. Боковая волна

Отражение сферической волны от границы раздела между двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно может сопровождаться своеобразным явлением возникновения боковой волны.

Пусть Q (рис. 45) — источник сферической звуковой волны, находящийся (в первой среде) на расстоянии l от плоской неограниченной поверхности раздела между двумя средами 1 и 2.

Расстояние l произвольно и отнюдь не должно быть большим по сравнению с длиной волны К. Плотности двух сред и скорости звука в них пусть будут

Предположим сначала, что Тогда на больших (по сравнению с к) расстояниях от источника движение в первой среде будет представлять собой совокупность двух расходящихся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно испускаемая источником (прямая волна); ее потенциал

где — расстояние от источника, а амплитуду мы условно полагаем равной единице; множители во всех выражениях мы будем в этом параграфе для краткости опускать.

Рис. 45

Рис. 46

Вторая же — отраженная — волна имеет волновые поверхности, представляющие собой сферы с центром в точке (зеркальное отображение источника Q в плоскости раздела); это есть геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежуток времени доходят лучи, одновременно вышедшие из точки Q и отразившиеся по законам геометрической акустики от поверхности раздела (на рис. 46 луч QAP с углами падения и отражения ). Амплитуда отраженной волны убывает обратно пропорционально расстоянию от точки Q (последнюю называют иногда мнимым источником), но зависит, кроме того, и угла — так, как если бы каждый луч отражался с коэффициентом, соответствующим отражению плоской волны с данным углом падения 0.

Другими словами, на больших расстояниях отраженная волна описывается формулой

(ср. формулу (66,4) для коэффициента отражения плоской волны). Эта формула, справедливость которой (для больших ) сама по себе естественна, может быть строго выведена указанным ниже способом.

Более интересен случай, когда

Здесь наряду с обычной отраженной волной (73,2) в первой среде появляется еще бдна волна, основные свойства которой можно усмотреть уже из следующих простых соображений.

Обычный отраженный луч QAP (рис. 46) удовлетворяет принципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее быстрого пробега из точки Q в Р из всех путей, лежащих целиком в среде I и испытывающих однократное отражение. Но принципу Ферма удовлетворяет (при ) и другой путь: луч падает на границу под углом полного внутреннего отражения затем распространяется по среде 2 вдоль границы раздела и, наконец, снова переходит в среду 1 под углом (QBCP на рис. 46); очевидно, что должно быть Легко видеть, что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время пробега по нему меньше, чем по любому другому пути из Q в Р, частично проходящему во второй среде.

Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Q вдоль пути QB и затем перешедшие снова в среду 1 в различных точках С, есть, очевидно, коническая поверхность, образующие которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого источника» Q под углом

Таким образом, если то наряду с обычной отраженной волной со сферическим фронтом в первой среде будет распространяться еще одна волна с коническим фронтом, простирающимся от плоскости раздела (на котором он смыкается с фронтом преломленной волны во второй среде) до касания фронта сферической отраженной волны (последнее происходит по линии пересечения с конусом, с углом раствора и осью вдоль линии , см. рис. 45). Эту коническую волну называют боковой.

Путем простого подсчета легко убедиться в том, что время пробега вдоль пути QBCP (рис. 46) меньше, чем время пробега по пути QAP, ведущему в ту же точку наблюдения Р.

Это значит, что звуковой сигнал из источника Q доходит до точки наблюдения Р сначала в виде боковой волны, и лишь затем в эту точку приходит обычная отраженная волна.

Следует иметь в виду, что боковая волна представляет собой Эффект волновой акустики, несмотря на то, что она допускает изложенное наглядное истолкование с помощью представлений геометрической акустики. Мы увидим ниже, что амплитуда боковой волны обращается в нуль в пределе

Переходим теперь к количественному расчету. Распространение монохроматической звуковой волны, создаваемой точечным источником, описывается уравнением (70,7):

где , а l - радиус-вектор источника. Коэффициент при -функции выбран таким, чтобы прямая волна имела вид (73,1). Ниже мы выбираем систему координат с плоскостью у в плоскости раздела и осью z вдоль первой среде соответствуют На границе раздела должны быть непрерывными давление и -компонента скорости, или, что то же, величины

Следуя общему методу Фурье, имеем решение в виде

Из симметрии в плоскости х, у заранее очевидно, что может зависеть только от абсолютной величины Воспользовавшись известной формулой

можно поэтому представить (73,4) в виде

где — цилиндрическая координата (расстояние от оси ). Для дальнейших вычислений будет удобно преобразовать эту формулу к виду, в котором интеграл берется в пределах от до выразив подынтегральное выражение через функцию Ганкеля

Последняя имеет, как известно, логарифмическую особенность в точке если условиться переходить от положительных к отрицательным вещественным значениям и, обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку сверху, то будет справедливо соотношение

С его помощью можно переписать (73,6) в виде

Из уравнения (73,3) находим для функции уравнение

-функцию в правой стороне уравнения можно исключить, наложив на функцию (удовлетворяющую однородному уравнению) граничные условия при

Граничные же условия при гласят:

(73,10)

Ищем решение в виде

(73,11)

Здесь

, причем надо полагать:

первое необходимо для того, чтобы искомое не возрастало на бесконечности, а второе — чтобы представляло собой расходящуюся волну. Условия (73,9) и (73,10) дают четыре уравнения, определяющие коэффициенты А, В, С, D. Простое вычис ление приводит к следующим выражениям:

При (т. е. если бы все пространство было заполнено одной средой) В обращается в нуль и соответствующий член в представляет собой, очевидно, прямую волну (73,1); поэтому интересующая нас отраженная волна есть

(73,14)

В этом выражении надо еще уточнить путь интегрирования. Особая точка обходится (в плоскости комплексного к), как уже указывалось, сверху. Кроме того, подынтегральное выражение имеет особые точки (точки разветвления) в которых или обращаются в нуль. В. соответствии с условиями (73,10) точки должны обходиться снизу, а точки сверху.

Рис. 47

Произведем исследование полученного выражения на больших расстояниях от источника. Заменяя функцию Ганкеля ее известным асимптотическим выражением, получим:

На рис. 47 изображен путь интегрирования С для случая . Интеграл может быть вычислен с помощью известного метода перевала. Показатель

имеет экстремум в точке, в которой

т.е. где — угол падения (см. рис. 45). Переходя к пути интегрирования С, пересекающему эту точку под углом к оси абсцисс, получим формулу (73,2).

В случае же точка лежит между точками если т. е. если (рис. 45). В этом случае контур С должен содержать еще петлю вокруг точки и к обычной отраженной волне (73,2) добавляется волна определяемая интегралом (73,15), взятым по этой петле (назовем ее рис. 48); это и есть боковая волна.

Этот интеграл легко вычислить, если точка не слишком близка к т. е. если угол не слишком близок к углу полного внутреннего отражения

Рис. 48

Вблизи точки мало; разлагаем предзкспоненциальный множитель в подынтегральном выражении в (73,15) по степеням Нулевой член разложения вообще не обладает особенностью и его интеграл по С" обращается в нуль. Поэтому имеем:

Разлагая показатель по степеням интегрируя по вертикальной петле получим после простого вычисления следующее выражение для потенциала боковой волны

В согласии со сказанным выше волновые поверхности представляют собой конусы

Вдоль заданного направления амплитуда волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния . Мы видим также, что эта волна исчезает в предельном случае . При выражение (73,17) становится неприменимым; в действительности в этой области амплитуда боковой волны убывает с расстоянием как .