§ 113. Обтекание конического острия

Исследование сверхзвукового стационарного течения вблизи острия на поверхности обтекаемого тела представляет собой трехмерную задачу, и потому несравненно сложнее исследования обтекания угла с линейным краем. Полностью может быть решена задача об осесимметричном обтекании острия, которое мы здесь и рассмотрим.

Вблизи своего конца осесимметрическое острие можно рассматривать как прямой конус кругового сечения, и таким образом, задача состоит в исследовании обтекания конуса однородным потоком, натекающим в направлении оси конуса. С качественной стороны картина выглядит следующим образом.

Как и при аналогичном обтекании плоского угла, должна возникнуть ударная волна (A. Busemann, 1929); из соображений симметрии очевидно, что эта волна будет представлять собой коническую поверхность, коаксиальную с обтекаемым конусом и имеющую общую с ним вершину (на рис. 114 изображен разрез конуса плоскостью, проходящей через его ). Однако в отличие от плоского случая ударная волна не осуществляет здесь поворота скорости газа на полный угол необходимый для течения вдоль поверхности конуса ( - угол раствора конуса).

После перехода через поверхность разрыва линии тока искривляются, асимптотически приближаясь к образующим обтекаемого конуса. Это искривление сопровождается непрерывным уплотнением (добавочным к уплотнению в самой волне) и соответственным падением скорости.

Рис. 114

Изменение направления и величины скорости на самой ударной волне определяется ударной полярой, причем и здесь осуществляется решение, отвечающее «слабой» ветви поляры. Соответственно, для каждого значения числа Маха натекающего потока существует определенное предельное значение угла полураствора конуса , за которым такое обтекание становится невозможным и ударная волна «отсоединяется» от вершины конуса. Поскольку за ударной волной происходит дополнительный поворот течения, значения для обтекания конуса превышают (при одинаковых ) значения для плоского случая (обтекания клина). Непосредственно за ударной волной движение газа обычно сверхзвуковое, но может быть и дозвуковым (при х, близких к ). Сверхзвуковое за ударной волной течение по мере приближения к поверхности конуса может стать дозвуковым, и тогда на определенной конической поверхности, скорость проходит через звуковое значение.

Коническая ударная волна пересекает все линии тока натекающего потока под одинаковым углом, а потому обладает постоянной интенсивностью. Отсюда следует (см. ниже § 114), что и за ударной волной течение будет изэнтропическим и потенциальным.

В силу симметрии задачи и ее автомодельности (отсутствия в ее условиях какой-либо характеристической постоянной длины) очевидно, что распределение всех величин (скорости, давления) в потоке за ударной волной будет функцией только от угла наклона к оси конуса (оси х на рис. 114) радиус-вектора, проведенного в данную точку из вершины конуса.

Соответственно уравнения движения сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям; граничные условия к этим уравнениям на ударной волне определяются уравнением ударной поляры, а на поверхности конуса — требуют параллельности скорости образующим конуса. Эти уравнения, однако, не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде и должны решаться численным образом. Отсылая за результатами таких вычислений к оригинальным источникам, мы ограничимся лишь кривой (рис. 65), дающей зависимость предельного допустимого угла раствора вднуса как функции от числа Укажем также, что при угол стремится к нулю по закону

как это можно заключить на основании общего околозвукового закона подобия (126,11) ( есть число, не зависящее ни от ни от рода газа).

Замкнутое аналитическое решение задачи об обтекании конуса возможно лишь в предельном случае малых углов раствора конуса (Th. Кагтап, N. В. Moor, 1932). Очевидно, что в таком случае скорость газа во всем пространстве будет лишь незначительно отличаться от скорости натекающего потока. Обозначив посредством v малую разность между скоростью газа в данной точке и скоростью и введя ее потенциал мы можем применить для последнего линеаризованное уравнение (114,4); если ввести цилиндрические координаты с осью вдоль оси конуса — полярный угол), это уравнение примет вид

или для осесимметрического движения

где введено обозначение

(113,4)

Для того чтобы распределение скорости было функцией только от угла , потенциал должен иметь вид где Сделав подстановку, получим для функции уравнение

которое решается элементарно.

Тривиальное решение соответствует однородному потоку, а второе решение есть

Граничное условие на поверхности конуса (т. е. при гласит:

или . Отсюда и в результате получим следующее окончательное выражение для потенциала (в области ):

(113,6)

Обратим внимание на то, что имеет при логарифмическую особенность.

Отсюда находим компоненты скорости:

(113,7)

Давление на поверхности конуса вычисляется с помощью формулы (114,5); благодаря логарифмической особенности при скорость на самой поверхности конуса (т. е. при малых ) велика по сравнению с и потому в формуле для давления должен быть сохранён член с . В результате получим:

(113,8)

Все эти формулы, полученные с помощью линеаризованной теории, теряют применимость при слишком больших значениях сравнимых с (см. § 127).