§ 34. Корреляционные функции скоростей

Уже формула (33,6) качественно определяет корреляцию скоростей в локальной турбулентности, т. е. связь между скоростями в двух близких точках потока. Введем теперь функции, которые могут служить количественной характеристикой этой корреляции.

Первой из таких характеристик является корреляционный тензор второго ранга

где — скорости жидкости в двух близких точках, а угловые скобки означают усреднение по времени.

Радиус-вектор между точками 1 и 2 (направленный от 1 к 2) обозначим через Рассматривая локальную турбулентность, мы считаем расстояние малым по сравнению с основным масштабом но не обязательно большим по сравнению с внутренним масштабом турбулентности

Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мелкомасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства локальной турбулентности не зависят от усредненного движения. Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализированный случай турбулентного движения, в котором изотропия и однородность имеют место не только на малых (как в локальной турбулентности), но и на всех вообще масштабах; усредненная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотропную и однородную турбулентность можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному «взбалтыванию» и затем оставленной в покое. Такое движение, разумеется, непременно затухает со временем, так что функциями времени становятся и компоненты корреляционного тензора. Выведенные ниже соотношения между различными корреляционными функциями относятся к однородной и изотропной турбулентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на расстояниях .

В силу изотропии, тензор не может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным вектором, который может входить в выражение для является радиус-вектор . Общий вид такого симметричного тензора второго ранга есть

где — единичный вектор в направлении .

Для выяснения смысла функций А и В выберем координатные оси так, чтобы одна из них совпала с направлением п. Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как а перпендикулярную составляющую скорости будем отличать индексом t. Компонента корреляционного тензора есть тогда среднее значение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости в их движении навстречу друг другу. Компонента же есть средний квадрат скорости вращательного движения одной частицы относительно другой. Поскольку то из имеем

Выражение (34,2) можно теперь представить в виде

Раскрыв скобки в определении (34,1), пишем

Ввиду однородности, средние значения произведения в точках 1 и 2 одинаковы, а ввиду изотропии среднее значение не меняется при перестановке точек 1 и 2 (т. е. при изменении знака разности ); таким образом,

Поэтому

Вспомогательный симметричный тензор обращается в нуль при ; действительно, скорости турбулентного движения в бесконечно удаленных точках можно считать статистически независимыми, так что среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений каждого множителя в отдельности, равных нулю по условию.

Продифференцируем выражение (34,4) по координатам точки 2:

Но в силу уравнения непрерывности имеем так что

Поскольку являются функциями только от разности то дифференцирование по эквивалентно дифференцированию по . Подставив для выражение (34,3), получим после простого вычисления:

( означает дифференцирование по ). Таким образом, продольная и поперечная корреляционные функции связаны друг с другом соотношением

Согласно (33,6) разность скоростей на расстоянии в инерционной области пропорциональна Поэтому корреляционные функции в этой области пропорциональны

При этом из (34,5) получается следующее простое соотношение:

Для расстояний же разность скоростей пропорциональна и, следовательно, пропорциональны Формула (34,5) приводит теперь к соотношению

Для этих расстояний могут еще быть выражены через среднюю диссипацию энергии . Пишем (где а — постоянная) и, комбинируя (34,3-4) и (34,7) находим:

Дифференцируя это соотношение, получаем:

Поскольку эти равенства справедливы при сколь угодно малых , можно положить в них после чего они дают:

С другой стороны, согласно (16,3) имеем для средней диссипации энергии

откуда . В результате находим окончательно следующие формулы, определяющие корреляционные функции через диссипацию энергии:

(Л. Н. Колмогоров, 1941).

Далее, введем корреляционный тензор третьего ранга

и вспомогательный тензор

(34,10)

Последний симметричен по первой паре индексов (второе равенство в определении (34,10) связано с тем, что перестановка точек эквивалентна изменению знака , т. е. инверсии координат и потому меняет знак тензора третьего ранга). При т. е. при совпадении точек 1 к 2, тензор — среднее значение от произведения нечетного числа компонент пульсирующей скорости обращается в нуль. Раскрыв скобки в определении (34,9), выразим тензор через .

(34,11)

При тензор а с ним и , стремятся к нулю.

В силу изотропии, тензор должен выражаться через единичный тензор , и компоненты единичного вектора . Общий вид такого тензора, симметричного по первой паре индексов, есть

(34,12)

Дифференцируя его по координатам точки 2, получим в силу уравнения непрерывности

Подстановка же сюда выражения (34,12) приводит, после простого вычисления, к двум уравнениям

Интегрирование первого дает

Но при функции С, D, F должны обращаться в нуль, поэтому надо положить так что Из обоих полученных таким образом уравнений находим:

(34,13)

Подстановка (34,13) в (34,12) и затем в (34,11) приводит к выражению

Направив снова одну из координатных осей по направлению вектора , получим для компонент тензора

(34,14)

Отсюда видно, что между отличными от нуля корреляционными функциями имеется соотношение

(34,15)

Ниже нам понадобится также и выражение тензора через компоненты тензора С помощью (34,12-14) находим

Соотношения (34,5) и (34,15) — следствия одного лишь уравнения непрерывности. Привлечение же динамического уравнения движения — уравнения Навье — Стокса — позволяет установить уравнение, связывающее друг с другом корреляционные тензоры (Th. Karmati, L. Howarth, 1938; A. H. Колмогоров, 1941).

Для этого вычисляем производную (напомним, что полностью однородное и изотропное турбулентное движение непременно затухает со временем). Выразив производные с помощью уравнения Навье — Стокса, получим

(34,17)

Корреляционная функция давления и скорости равна нулю:

(34,18)

Действительно, в силу изотропии эта функция должна была бы иметь вид . С другой стороны, в силу уравнения непрерывности

Но единственным вектором вида и с равной нулю дивергенцией является вектор такой вектор не удовлетворяет условию конечности при и потому должно быть

Заменив теперь в (34,17) производные по производными по получим уравнение

(34,19)

Сюда надо подставить из (34,4) и (34,16). Производная по времени от кинетической энергии единицы массы жидкости, есть не что иное, как диссипация энергии — .

Поэтому

Простое, но довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению):

Величина как функция времени существенно меняется лишь за время, отвечающее основному масштабу турбулентности По отношению к локальной турбулентности основное движение может рассматриваться как стационарное (как это было уже отмечено в § 33). Это значит-, что в применении к локальной турбулентности в левой стороне уравнения (34,20) можно с достаточной точностью пренебречь производной по сравнению с е. Умножив остающееся уравнение на и проинтегрировав его по (с учетом обращения корреляционных функций в нуль при получим следующее соотношение между

(34,21)

(А. Н. Колмогоров, 1941). Это соотношение справедливо при как больших, так и меньших чем При член, содержащий вязкость, мал и мы имеем просто

(34,22)

Если же подставить в (34,21) при выражение (34,8) для то получится нуль; это связано с тем, что в этом случае должно быть так что члены первого порядка должны сократиться.

Одно уравнение (34,20) связывает две независимые функции и Вггг и потому, само по себе, не дает возможности найти эти функции. Появление в нем корреляционных функций сразу двух порядков связано с нелинейностью уравнения Навье—Стокса. По этой же причине вычисление производной по времени от корреляционного тензора третьего ранга привело бы к уравнению, содержащему также и корреляционную функцию четвертого порядка, и т. д. Таким образом, возникает бесконечная цепочка уравнений.

Получить таким способом замкнутую систему конечного числа уравнений без каких-либо дополнительных предположений невозможно.

Сделаем еще следующее общее замечание. Можно было бы думать, что существует принципиальная возможность получить универсальную (применимую к любому турбулентному движению) формулу, определяющую величины для всех расстояний , малых по сравнению с I. В действительности, однако, такой формулы вообще не может существовать, как это явствует из следующих соображений. Мгновенное значение величины можно было бы, в принципе, выразить универсальным образом через диссипацию энергии в тот же момент времени. Однако, при усреднении этих выражений будет существенным закон изменения в течение периодов крупномасштабных (масштабы ) движений, различный для различных конкретных случаев движения. Поэтому и результат усреднения не может быть универсальным.

Интеграл Лойцянского

Перепишем уравнение (34,20), введя в него вместо функций функции

Умножив это уравнение на проинтегрируем его по от 0 до Выражение в квадратных скобках равно нулю при Полагая, что оно обращается в нуль также и при найдем, что

(34,24)

(Л. Г. Лойцянский, 1939). Этот интеграл сходится, если функция убывает на бесконечности быстрее, чем а чтобы он действительно сохранялся, функция должна убывать быстрее, чем

Функции связаны друг с другом таким же соотношением (34,5), как и

Поэтому имеем (при тех же условиях)

Поскольку то интеграл (34,24) можно представить в виде

(34,25)

Этот интеграл тесно связан с моментом импульса жидкости, находящейся в состоянии однородной и изотропной турбулентности. Можно показать (на чем мы останавливаться не будем), что квадрат полного момента импульса М жидкости, заключенной в некотором большом объеме V (выделенном в неограниченной жидкости) есть тот факт, что М растет пропорционально а не V, связан с тем, что М является суммой большого числа статистически независимых слагаемых (моментов импульса отдельных небольших участков жидкости) с равными нулю средними значениями.

Значение в заданном объеме V может меняться за счет взаимодействия с окружающими областями жидкости. Если бы это взаимодействие достаточно быстро убывало с расстоянием, то оно представляло бы собой для рассматриваемой части жидкости поверхностный эффект. Тогда времена, в течение которых могло бы претерпеть значительное изменение, росли бы вместе с размерами объема V; эти времена и размеры должны рассматриваться как сколь угодно большие, и в этом смысле сохранялось бы.

Указанное условие тесно связано с условиями достаточно быстрого убывания корреляционных функций, сформулированными при выводе (34,24) из (34,23). Но в рамках теории несжимаемой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюдении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной скорости распространения возмущений в несжимаемой жидкости. Математически это свойство проявляется в интегральном характере зависимости распределения давления в жидкости от распределения скоростей: если рассматривать правую часть уравнения (15,11) как заданную, то решение этого уравнения:

В результате любое локальное возмущение скорости мгновенно отражается на давлении во Есем пространстве; давление же влияет на ускорение жидкости и тем самым — на дальнейшее изменение скоростей.

Естественная постановка задачи для выяснения этого вопроса состоит в следующем пусть в начальный момент времени создано изотропное турбулентное движение, в котором функции экспоненциально убывают с расстоянием. Выразив давление через скорости по написанной формуле, можно затем с помощью уравнений движения жидкости пытаться определить характер зависимости производных по времени от корреляционных функций (в момент от расстояния при . Тем самым определится и характер зависимости от самих корреляционных функций при Такое исследование приводит к следующим результатам.

Функция при убывает на бесконечности не медленнее, чем (а возможно, что и экспоненциально). Поэтому интеграл Лойцянского сходится. Функция же убывает лишь как Это значит, что А не сохраняется. Его производная по времени оказывается некоторой отличной от нуля отрицательной (как результат эмпирического факта отрицательности функцией времени. Эта функция целиком связана с инерционными силами. Естественно думать, что по мере затухания турбулентности роль этих сил падает, и в заключительной стадии ими можно пренебречь по сравнению с вязкими силами. Таким образом, А убывает (момент импульса равномерно «растекается» по бесконечному пространству), стремясь к постоянному значению, принимаемому им на заключительной стадии турбулентности.

Отсюда возникает возможность определить для этой стадии закон изменения со временем основного масштаба турбулентности I и ее характерной скорости v. Оценка интеграла (34,25) дает . Еще одно соотношение получим из оценки скорости убывания энергии путем вязкой диссипации. Диссипация пропорциональна квадрату градиентов скорости; оценив последние как имеем Приравняв ее производной отсчитывается от начала заключительной стадии затухания), получим и затем

(34,26)

(М. Д. Миллионщиков, 1939).

Спектральное представление корреляционных функций

Наряду с рассмотренным в предыдущем параграфе координатным представлением корреляционных функций, методически и физически интересно также и спектральное (по волновым векторам) их представление.

Оно получается разложением в пространственный интеграл Фурье:

(мы обозначаем спектральную корреляционную функцию ); тем же символом с другой независимой переменной — волновым вектором к). Поскольку в изотропной турбулентности то т. е. спектральные функции вещественны.

При функции стремятся к конечному пределу, даваемому первым членом в (34,4). Соответственно этому, их фурье-компоненты содержат -функционный член:

(34,27)

Компоненты же с к 0 для функций совпадают друг с другом.

Дифференцирование по координатам в координатном представлении эквивалентно в спектральном представлении умножению на Поэтому уравнение непрерывности сводится в спектральном представлении к условию поперечности тензора по отношению к волновому вектору:

(34,28)

В силу изотропии, тензор должен выражаться только через вектор к и единичный тензор Общий вид такого симметричного тензора, удовлетворяющего условию (34,28), есть

(34,29)

где — вещественная функция от абсолютной величины волнового вектора.

Аналогичным образом определяется спектральное представление корреляционного тензора третьего ранга, причем тензор выражается через формулой (34,11); -функционного члена эти тензоры не содержат. Уравнение непрерывности приводит к условию поперечности спектрального тензора по его третьему индексу!

(34,30)

Общий вид такого тензора:

(34,31)

Поскольку спектральные функции мнимы; в (34,31) введен множитель t, так что функция вещественная.

Уравнение (34,19) в спектральном представлении записывается как

Подставив сюда (34,29) и (34,31), получим

(34,32)

Функция имеет важный физический смысл. Для его выяснения подойдем к определению спектральной корреляционной функции в несколько более ранней стадии.

Введем спектральное разложение самой пульсирующей скорости по обычным формулам разложения Фурье:

Последний интеграл фактически расходится, поскольку не стремится к нулю на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов.

Корреляционный тензор выражается через фурье-компоненты скорости интегралом

Для того чтобы этот интеграл был функцией только от разности подынтегральное выражение в нем должно содержать -функцию от суммы к к, т. е. должно быть

(34,34)

Это выражение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически как (). Подставив (34,34) в (34,33) и устранив -функцию интегрированием по находим, что

т. е. величины совпадают с фурье-компонентами корреляционной функции тем самым они симметричны по индексам i, I и вещественны. В частности, причем мы можем теперь утверждать, что эта величина положительна, как это очевидно из ее связи согласно (34,34) с положительной величиной — средним квадратом модуля фурье-компоненты пульсирующей скорости.

Значение корреляционной функции при определяет средний квадрат скорости жидкости в какой-либо (любой) точке пространства. Оно выражается через спектральную функцию формулой

или, подставив сюда из (34,29)

(34,35)

После всего сказанного выше смысл этой формулы очевиден: положительная величина представляет собой спектральную плотность кинетической энергии жидкости (отнесенной к единице массы) в -пространстве. Энергия же, заключенная в пульсациях с величиной волнового вектора в интервале есть , где

(34,36)

Первый член в правой стороне уравнения (34,32) возникает как фурье-компонента первого члена в правой стороне уравнения (34,19). При последний сводится к производной

и обращается в нуль в силу однородности. В спектральном представлении это значит, что

(34,37)

так что функция знакопеременна.

Уравнение (34,32) имеет простой смысл: оно представляет баланс энергии различных спектральных компонент турбулентного движения. Второй член в правой стороне отрицателен; он определяет убыль энергии, связанную с диссипацией. Первый же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье — Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру ее переход от спектральных компонент с меньшими к компонентам с большими значениями k. Спектральная (по k) плотность энергии имеет максимум при к в области вблизи максимума (область энергии — см. § 33) сосредоточена большая часть полной энергии турбулентного движения.

Плотность же диссипируемой энергии максимальна при в области диссипации сосредоточена большая часть полной диссипации. При очень больших числах Рейнольдса обе эти области раздвинуты далеко друг от друга и между ними находится инерционная область.

Проинтегрировав уравнение (34,32) по мы получим в его левой части производную по времени от полной кинетической энергии жидкости; эта производная совпадает с полной диссипацией энергии . Таким образом, находим следующее «условие нормировки» функции

(34,38)

В инерционном интервале волновых чисел спектральные функции (как и корреляционные функции в координатном представлении) можно считать независящими от времени. Согласно (33,13) в этой области

(34,39)

где — постоянный коэффициент. Этот коэффициент связан с коэффициентом С в корреляционной функции

(34,40)

равенством (см. задачу). Их эмпирические значения: При этом отношение