Задачи

1. Определить форму поверхности несжимаемой жидкости в поле тяжести в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью

Решение. Ось выбираем по оси цилиндра. Тогда Уравнение непрерывности удовлетворяется автоматически, а уравнение Эйлера (10,1) дает:

Общий интеграл этих уравнений есть

На свободной поверхности , так что эта поверхность является параболоидом: (начало координат — в низшей точке поверхности).

2. Шар (радиуса R) движется в несжимаемой идеальной жидкости. Определить потенциальное течение жидкости вокруг шара.

Решение. На бесконечности скорость жидкости должна обращаться в нуль. Обращающимися на бесконечности в нуль решениями уравнения Лапласа являются, как известно, и производные различных порядков от по координатам (начало координат — в центре шара). Ввиду полной симметрии шара в решение может войти лишь один постоянный вектор — скорость и, а ввиду линейности уравнения Лапласа и граничного условия к нему должно содержать и линейным образом. Единственным скаляром, который можно составить из и и производных от является произведение . Соответственно этому ищем в виде

( — единичный вектор в направлении радиус-вектора). Постоянная А определяется из условия равенства нормальных к поверхности шара компонент скоростей v и при Это условие дает так что

Распределение давления определяется формулой (10,7):

( — давление на бесконечности). При вычислении производной надо иметь в виду, что начало координат (выбранное нами в центре шара) смещается со временем со скоростью и. Поэтому

Распределение давления на поверхности шара дается формулой

( — угол между ).

3. То же для бесконечного цилиндра, движущегося перпендикулярно к своей оси.

Решение. Течение не зависит от координаты вдоль оси цилиндра, так что приходится решать двухмерное уравнение Лапласа. Обращающимися а нуль на бесконечности решениями являются производные от по координатам, начиная от первого порядка и выше ( — перпендикулярный к оси цилиндра радиус-вектор). Ищем решение в виде

и с помощью граничных условий получаем так что

Давление на поверхности цилиндра дается формулой

4. Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости в эллипсоидальном сосуде, вращающемся вокруг одной из своих главных осей с угловой скоростью ; определить полный момент импульса жидкости в сосуде.

Решение. Выбираем декартовы координаты вдоль осей эллипсоида в данный момент времени; вращения совпадает с осью . Скорость стенки сосуда есть так что граничное условие есть

или, используя уравнение эллипсоида :

Решение уравнение Лапласа, удовлетворяющее этому условию, есть

Момент импульса жидкости в сосуде

Интегрируя по объему эллипсоида, получаем

Формула (1) определяет абсолютное движение жидкости, отнесенное к мгновенному положению осей , связанных с вращающимся сосудом. Движение же относительно сосуда (т. е. относительно вращающейся системы координат , получится вычитанием скорости из абсолютной скорости жидкости; обозначив относительную скорость жидкости v, имеем

Траектории относительного движения получаются путем интегрирования уравнений и представляют эллипсы , подобные граничному эллипсу.

5. Определить течение жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле (рис. 2).

Решение. Малый участок поверхности тела вблизи критической точки можно рассматривать как плоский. Выбираем его в качестве плоскости Разлагая при малых в ряд, имеем с точностью до членов второго порядка:

(постоянный член в несуществен). Постоянные коэффициенты определяем так, чтобы удовлетворяло уравнению и граничным условиям при и всех при (в критической точке). Это дает

Рис. 3

Член может быть всегда исключен соответствующим поворотом осей х и у. В результате получаем:

Если течение обладает аксиальной симметрией вокруг оси (симметричное обтекание тела вращения), то должно быть так что

Компоненты скорости равны

Линии тока определяются уравнениями (5; 2), откуда т. е. линии тока являются кубическими гиперболами.

Если течение является однородным вдоль оси у (например, при обтекании в направлении оси цилиндра с осью вдоль оси у), то в (1) должно быть так что

Линиями тока являются гиперболы .

6. Определить движение жидкости при потенциальном обтекании угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями (вблизи вершины угла).

Решение. Выбираем полярные координаты в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 9 отсчитывается от одной из прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла; при течение происходит внутри угла, при — вне его. Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит при и . Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде

так что

При (обтекание выпуклого угла; рис. 3) v обращается в начале координат в бесконечность как При (течение внутри вогнутого угла — рис. 4) v обращается при в нуль.

Функция тока, определяющая форму линий тока, есть

Рис. 4

Полученные для выражения являются вещественной и мнимой частями комплексного потенциала

7. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса а. Определить время, в течение которого образовавшаяся полость заполнится жидкостью (Besant, 1859; Rayleigh, 1917).

Решение. Движение жидкости после образования полости будет центрально-симметрическим со скоростями, направленными в каждой точке по радиусу к центру. Для радиальной скорости

имеем уравнение Эйлера (в сферических координатах)

Уравнение непрерывности дает:

где - произвольная функция времени; это равенство выражает собой тот факт, что в силу несжимаемости жидкости объем, протекающий через сферу любого радиуса, не зависит от последнего.

Подставляя у из (2) в (1), имеем:

Интегрируя это уравнение по в пределах от до радиуса

заполняющейся полости, получим:

где — скорость изменения радиуса полости, а — давление на бесконечности; скорость жидкости на бесконечности, а также давление на поверхности полости равны нулю. Написав соотношение (2) для точек на поверхности полости, находим:

и, подставив это выражение для в (3), получим следующее уравнение)

В этом уравнении переменные разделяются и, интегрируя его при начальном условии при (в начальный момент жидкость покоилась), найдем:

Отсюда имеем для искомого полного времени заполнения полости:

Этот интеграл приводится к виду В-интеграла Эйлера, и вычисление дает окончательно:

8. Погруженная в несжимаемую жидкость сфера расширяется по заданному закону Определить давление жидкости на поверхности сферы.

Решение. Обозначим искомое давление посредством Вычисления в точности аналогичны произведенным в предыдущей задаче с той лишь разницей, что при давление равно не нулю, . В результате получим уравнение

и соответственно вместо (4) уравнение

Имея в виду, что можно привести выражение для к виду

9. Определить форму струи, вытекающей из бесконечно длинной щели прорезанной в плоской стенке.

Решение. Пусть в плоскости у стенка совпадает с осью х, отверстие есть отрезок этой оси, а жидкость занимает полуплоскость у > 0. Вдали от стенки (при ) скорость жидкости равна нулю, а давление пусть будет

На свободной поверхности струя (ВС и ВС на рис. 5, а) давление а скорость согласно уравнению Бернулли имеет постоянную величину Линин стенки, продолжающиеся в свободную границу струи, представляют собой линии тока. Пусть на линии тогда на линии АВС где — расход жидкости в струе -ширина струи и скорость жидкости в ней на бесконечности).

Рис. 5

Потенциал меняется как на линии ABC, так и на линии от до пусть в точках В и Тогда в плоскости комплексного переменного w области течения будет соответствовать бесконечная полоса ширины (обозначения точек на рис. 5, б — г соответствуют обозначениям на рис. 5, а в плоскости х, у).

Введем новую комплексную переменную — логарифм комплексной скорости:

комплексная скорость на бесконечности струи). На АВ имеем на на ВС и причем на бесконечности струи Поэтому в плоскости переменного Z, области течения соответствует полуполоса ширины , расположенная в правой полуплоскости (рис. 5, в). Если мы теперь найдем конформное преобразование, переводящее полосу плоскости w в полуполосу плоскости (с указанным на рис. 5 соответствием точек), то тем самым мы определим w как функцию от функция может быть найдена затем одной квадратурой.

Для того чтобы найти искомое преобразование, введем еще одну вспомогательную комплексную переменную и, такую, чтобы в плоскости и области течения соответствовала верхняя полуплоскость, причем точкам В и В соответствуют точки точкам а бесконечно удаленным точкам А и (рис. 5, г). Зависимость w от этой вспомогательной переменной определяется конформным преобразованием, переводящим верхнюю полуплоскость и в полосу плоскости w.

При условленном соответствии точек это есть

Чтобы найти зависимость от , надо найти конформное отображение полуполосы плоскости в верхнюю полуплоскость и. Рассматривая эту полуполосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность, можно найти искомое отображение с помощью известной формулы Шварца Кристоффеля; ответ гласит

(3)

Формулы (2), (3) решают задачу, определяя в параметрическом виде зависимость от w.

Определим форму струи. На ВС имеем

няется между 0 и 1. Из (2) и (3) получим:

откуда интегрированием (с условиями при найдем в параметрическом виде форму струи. В частности, для сжатия струи получается .