§ 16. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости
Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходящей в конце концов в тепло. Вычисление диссипируемой энергии в особенности просто для несжимаемой жидкости.
Полная кинетическая энергия несжимаемой жидкости равна
Вычислим производную от этой энергии по времени. Для этого пишем:
и подставляем для производной 
ее выражение согласно уравнению Навье — Стокса:
В результате получаем:
Здесь посредством 
обозначен вектор с компонентами 
Замечая, что в несжимаемой жидкости 
можно написать первый член справа в виде дивергенции:
Выражение, стоящее под знаком 
представляет собой не что иное, как плотность потока энергии в жидкости. Первый член в квадратных скобках есть поток энергии, связанный с простым переносом массы жидкости при ее движении, совпадающий с потоком энергии в идеальной жидкости (см. (10,5)). Второй же член 
есть поток энергии, связанный с процессами внутреннего трения. Действительно, наличие вязкости приводит к появлению потока импульса 
; перенос же импульса всегда связан с переносом энергии, причем поток энергии получается, очевидно, из потока импульса умножением на скорость.
Если проинтегрировать (16,1) по некоторому объему V, то получится:
Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в объеме V благодаря наличию потока энергии через поверхность этого объема. Второй же член (взятый с обратным знаком) представляет собой, следовательно, уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией.
Если распространить интегрирование по всему объему жидкости, то интеграл по поверхности исчезает (на бесконечности скорость обращается в нуль), и мы получим диссипируемую в единицу времени во ссей жидкости энергию в виде
(последнее равенство следует из симметричности тензора 
В несжимаемой жидкости тензор 
определяется выражением (15,8). Таким образом, находим окончательно следующую формулу для диссипации энергии в несжимаемой жидкости:
Диссипация приводит к уменьшению механической энергии, т. е. должно быть 
. С другой стороны, интеграл в (16,3) является величиной всегда положительной. Поэтому мы можем заключить, что коэффициент впзкости 
положителен.
Задача
Для потеницального движения преобразовать интеграл (16,3) в интеграл по поверхности, ограничивающей область движения.
Решение. Положив 
и произведя однократное интегрирование по частям, получим:
или
