Задачи

1. Определить предельный закон зависимости числа Нуссельта от числа Прандтля в ламинарном пограничном слое при больших значениях Р и больших

Решение. При больших Р расстояние , на котором происходит изменение температуры, мало по сравнению с толщиной слоя, в котором происходит падение скорости ( может быть названо толщиной температурного пограничного слоя). Порядок величины может быть получен оценкой членов уравнения (54,1). На расстоянии от до и температура испытывает изменение порядка полной разности температур жидкости и твердого тела, а скорость на том же расстоянии испытывает изменение порядка (полное изменение порядка U скорость испытывает на расстоянии ). Поэтому при члены уравнения порядка величины

Сравнение обоих выражений дает Подставляя получаем:

Таким образом, при больших Р толщина температурного пограничного слоя убывает по сравнению с толщиной скоростного пограничного слоя обратно пропорционально кубическому корню из Р, Поток тепла

и окончательно находим предельный закон теплопередачи

2. Определить предельный вид функции в логарифмическом законе распределения температуры (54,4) при больших значениях Р.

Решение Согласно сказанному в § 42 поперечная скорость в вязком подслое порядка величины а масштаб турбулентного движения — порядка Турбулентная температуропроводность, следовательно,

(мы воспользовались здесь соотношением (42,5)); сравнивается по порядку величины с обычным коэффициентом на расстояниях Поскольку очень быстро растет с у, то ясно, что основное изменение температуры в вязком подслое происходит на расстояниях от стенки порядка и его можно считать пропорциональным т. е. имеющим порядок величины

Сравнивая с формулой (54,4), находим, что функция будет иметь вид

где const — численная постоянная.

3. Вывести соотношение, связывающее локальные корреляционные функции

в неравномерно нагретом турбулентном потоке (А. М. Яглом, 1949).

Решение. Все вычисления аналогичны выводам в § 34. Наряду с функциями вводим вспомогательные функции

и для облегчения рассуждений рассматриваем турбулентность как полностью однородную и изотропную. Имеем тогда:

(средние значения

а средние значения вида обращаются в нуль в силу несжимаемости жидкости — ср. вывод (34,18)). С помощью уравнений

вычисляем производную

В силу тех же изотропии и однородности, функции имеют вид

(где — единичный вектор в направлении ), а и зависят только от . С учетом (1) и (3), уравнение (2) принимает вид

где введена величина

(совпадающая с введенной в тексте). Поскольку локальную турбулентность можно считать стационарной, производной пренебрегаем. Интегрируя оставшееся равенство по , получим искомое соотношение (аналогичное (34,21):

При член, содержащий мал, а согласно (54,5) функция . Тогда из (4) имеем:

На расстояниях же имеем а членом можно пренебречь; тогда