§ 134. Релятивистские гидродинамические уравнения

Уравнения движения содержатся, как известно, в уравнениях

(134,1)

выражающих собой законы сохранения энергии и импульса той физической системы, к которой относится тензор Воспользовавшись выражением (133,2) для мы получим отсюда уравнения движения жидкости; при этом, однако, необходимо дополнительно учесть сохранение числа частиц, не содержащееся в уравнениях (134,1). Подчеркнем, что тензор энергии-импульса (133,2) не учитывает никаких диссипативных процессов (в том числе вязкости и теплопроводности); поэтому речь идет об уравнениях движения идеальной жидкости.

Для формулирования уравнения, выражающего сохранение числа частиц в жидкости (уравнения непрерывности), введем -вектор тока частиц Его временная компонента есть плотность числа частиц, а пространственные компоненты составляют трехмерный вектор тока частиц. Очевидно, что -вектор должен быть пропорционален -скорости , т. е. иметь вид

(134,2)

где — скаляр; из его определения ясно, что — собственная плотность числа частиц.

Уравнение непрерывности выражается просто равенством нулю 4-дивергенции вектора тока:

Возвратимся к уравнениям (134,1). Дифференцируя выражение (133,2), получим

Умножим это уравнение на , т. е. спроецируем его на направление 4-скорости. Помня, что а потому находим

Заменив тождественно и воспользовавшись уравнением непрерывности (134,3), переписываем это уравнение в виде

Согласно известному термодинамическому соотношению для тепловой функции имеем

(134,6)

(Т — температура, а — энтропия, отнесенная к единице собственного объема). Отсюда видно, что выражение в квадратных скобках есть производная

Опустив множитель приходим, таким образом, к уравнению

(134,7)

выражающему адиабатичность движения жидкости означает дифференцирование вдоль мировой линии движения данного элемента жидкости). С помощью уравнения непрерывности (134,3) его можно представить в эквивалентном виде

(134,8)

т. е. как равенство нулю 4-дивергенции потока энтропии .

Спроецируем теперь уравнение (134,1) на направление, нормальное к . Другими словами, составим их комбинацию

(выражение в левой стороне тождественно обращается в ноль при скалярном умножении на ). Простое вычисление приводит к уравнению

Три пространственные компоненты этого уравнения представляют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (временная же компонента есть следствие первых трех).

Уравнение (134,9) может быть представлено в другом виде в случае изэнтропического движения (подобно преобразованию от (2,3) к (2,9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При имеем, согласно (134,6),

и уравнение (134,9) принимает вид

(134,10)

Если движение к тому же еще и стационарно (все величины не зависят от времени), то пространственные компоненты (134.10) дают

(134,10)

Умножив это уравнение скалярно на v, после простых преобразований получим Отсюда следует, что вдоль каждой из линий тока постоянна величина

(134,11)

Это — релятивистское обобщение уравнения Бернулли.

Не предполагая изэнтропическое течение стационарным, легко видеть, что уравнения (134,10) имеют решения вида

где — функция координат и времени; эти решения — релятивистский аналог потенциальных течений нерелятивистской гидродинамики (И. М. Халатников, 1954). Для проверки сказанного замечаем, что в виду симметрии производных по индексам , имеем

умножив это равенство скалярно на и раскрыв производную в правой стороне, действительно вернемся к уравнению (134,10). Пространственные и временная компоненты равенства (134,12) дают:

Первое из них в нерелятивистском пределе дает обычное условие потенциальности, а второе — уравнение (9,3) (с соответствующим переобозначением ).

Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя). Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть линеаризованы; при этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде (134,1), а не из эквивалентных им уравнений (134,8-9). Подставив выражения (133,3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений

(134,13)

где штрихом отмечены переменные части величин в волне.

Исключив отсюда v, найдем:

Наконец, написав получим для волновое уравнение со скоростью звука

(индекс «ад» указывает, что производная должна быть взята для адиабатического процесса, т. е. при постоянном ). Эта формула отличается от соответствующего нерелятивистского выражения тем, что вместо обычной плотности массы здесь стоит Для ультра релятивистского уравнения состояния скорость звука .

Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических уравнениях при наличии существенных гравитационных полей, т. е. в общей теории относительности. Они получаются из уравнений (134,8-9) просто путем замены обычных производных ковариантными

(134,15)

Выведем из этих уравнений условие механического равновесия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное поле статично; можно выбрать такую систему отсчета, в которой вещество неподвижно все величины не зависят от времени, а смешанные компоненты метрического тензора равны нулю Пространственные компоненты уравнения (134,15) дают тогда

или

(134,16)

Это и есть искомое уравнение равновесия. В нерелятивистском предельном случае ( — ньютоновский гравитационный потенциал), и уравнение (134,16) переходит в

т. е. в обычное гидростатическое уравнение.