§ 17. Течение по трубе

Рассмотрим несколько простейших случаев движения вязкой несжимаемой жидкости.

Пусть жидкость заключена между двумя параллельными плоскостями, движущимися друг относительно друга с постоянной скоростью .

Плоскость выберем в одной из них, причем ось направим по направлению скорости и. Все величины зависят, очевидно, только от координаты у, а скорость жидкости направлена везде по оси Из (15,7) имеем для стационарного движения

(Уравнение же непрерывности удовлетворяется тождественно.) Отсюда . При и при (h — расстояние между плоскостями) должно быть соответственно и . Отсюда находим:

Таким образом, распределение скоростей в жидкости линейно. Средняя скорость жидкости

Из (15,14) находим, что нормальная компонента действующей на плоскости силы равна, как и должно было быть, просто , а тангенциальная сила трения (на плоскости ) равна

(на плоскости она имеет обратный знак).

Далее, рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя неподвижными параллельными плоскостями при наличии градиента давления. Координаты выбираем, как в предыдущем случае; ось х направлена по направлению движения жидкости. Уравнения Навье — Стокса дают (скорость зависит, очевидно, только от координаты у):

Второе из этих уравнений показывает, что давление не зависит от у, т. е. постоянно вдоль толщины слоя жидкости между плоскостями. Тогда в первом уравнении справа стоит функция только от , а слева — только от у, такое уравнение может выполняться, только если его левая и правая части являются постоянными величинами. Таким образом,

т. е. давление является линейной функцией координаты х вдоль направления потока жидкости. Для скорости же получаем теперь

Постоянные а и b определяются из граничных условий при . В результате получаем:

Таким образом, скорость меняется вдоль толщины слоя жидкости по параболическому закону, достигая наибольшей величины посредине слоя. Для среднего по толщине слоя жидкости значения ее скорости вычисление дает

Сила трения, действующая на неподвижную стенку:

Наконец, рассмотрим стационарное течение жидкости по трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины трубы). Ось трубы выберем в качестве оси Очевидно, что скорость v жидкости направлена везде по оси и является функцией только от у и z. Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно, а у- и z- компоненты уравнения Навье — Стокса дают опять , т. е. давление постоянно вдоль сечения трубы, х-компонента уравнения (15,7) дает

Отсюда опять заключаем, что ; градиент давления можно поэтому написать в виде где — разность давлений на концах трубы, а — ее длина.

Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двухмерным уравнением типа . Это уравнение должно быть решено при граничном условии на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии . Воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем:

Интегрируя, находим:

Постоянную а надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая его центр.

Постояннную b определяем из требования при — радиус трубы) и получаем:

Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону.

Легко определить количество (массу) жидкости Q, протекающей в 1 сек. через поперечное сечение трубы (или, как говорят, расход жидкости в трубе). Через кольцевой элемент площади сечения трубы проходит в 1 с количество жидкости Поэтому

С помощью (17,9) получаем:

Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы).