§ 14. Волны во вращающейся жидкости

Другой своеобразный тип внутренних волн может распространяться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вращении кориолисовыми силами.

Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть введены дополнительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую сторону уравнения Эйлера. Центробежная сила может быть представлена в виде градиента где Q — вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой введя эффективное давление

Кориолисова же сила равна она появляется лишь при движении жидкости относительно вращающейся системы координат (v — скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую сторону уравнения Эйлера, напишем его в виде

Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сводясь для несжимаемой жидкости к равенству

Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении (14,2), которое примет вид

где — переменная часть давления в волне, а . Сразу же исключим давление, применив к обеим сторонам уравнения (14,3) операцию Правая сторона уравнения обращается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжимаемости жидкости:

Выбрав направление в качестве оси z, запишем получающееся уравнение в виде

Ищем решение в виде плоской волны

удовлетворяющей (в силу уравнения ) условию поперечности

Подстановка (14,5) в уравнение (14,4) дает

Закон дисперсии волн получается исключением v из этого векторного равенства. Умножив его с обеих сторон векторно на k, переписываем его в виде

и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зависимость а от к:

где — угол между

С учетом (14,4) равенство (14,7) принимает вид

где Если представить комплексную амплитуду волны как с вещественными векторами а и b, то отсюда следует, что — векторы а и b (оба лежащие в плоскости, перпендикулярной вектору к) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине. Выбрав их направления в качестве осей х и у и отделив в (14,5) вещественную и мнимую части, найдем, что

Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каждой точке пространства вектор v вращается со временем, оставаясь постоянным по величине.

Скорость распространения волны:

где v — единичный вектор в направлении Q; как и в гравитационных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волновому вектору. Ее абсолютная величина и проекция на направление Я:

Рассмотренные волны называют инерционными. Поскольку кориолисовы силы не совершают работы над движущейся жидкостью, заключенная в этих волнах энергия — целиком кинетическая.

Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских) волн может распространяться вдоль оси вращения жидкости — см. задачу.

В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к стационарным движениям во вращающейся жидкости, а не к распространению волн в ней.

Пусть l — характерный параметр длины такого движения, а и — характерная скорость. По порядку величины член в уравнении (14,2) равен , а член . Если , то первым можно пренебречь по сравнению со вторым и тогда уравнение стационарного движения сводится к

(14,10)

или

где х, у — декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Отсюда видно, что Р, а потому и не зависят от продольной координаты г. Далее, исключив Р из двух первых уравнений, получим

после чего из уравнения непрерывности следует, что Таким образом, стационарное движение (относительно вращающейся системы координат) в быстро вращающейся жидкости представляет собой наложение двух независимых движений: плоского течения в поперечной плоскости и осевого движения, не зависящего от координаты z (J. Proudman, 1916).