Главная > Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 47. Индуктивное сопротивление

Существенную часть силы сопротивления, испытываемой хорошо обтекаемым крылом (конечного размаха), составляет сопротивление, связанное с диссипацией энергии в тонком турбулентном следе. Это сопротивление называют индуктивным.

В § 21 было показано, каким образом можно вычислить связанную со следом силу сопротивления, рассматривая движение жидкости вдали от тела. Полученная там формула (21,1), однако, в данном случае неприменима. Согласно этой формуле сопротивление определяется интегралом от по площади сечения следа, т. е. расходом жидкости через сечение следа. Но ввиду тонкости следа за хорошо обтекаемым крылом этот расход в данном случае мал, и в рассматриваемом ниже приближении им можно вовсе пренебречь.

Подобно тому как мы поступали в § 21, пишем силу в виде разности полных потоков х-компоненты импульса через плоскости проходящие соответственно значительно позади и значительно впереди тела. Написав три компоненты скорости в виде будем иметь для компоненты плотности потока импульса выражение так что сила сопротивления есть

Ввиду тонкости следа можно пренебречь (в интеграле по плоскости ) интегралом по площади его сечения и, таким образом, интегрировать везде только по области вне следа. Но вне следа движение потенциально и имеет место формула Бернулли

откуда

Пренебречь здесь квадратичными членами (как это было сделано в § 21) нельзя, так как именно ими определяется в данном случае искомая сила сопротивления. Подставляя (47,2) в (47,1), получим:

Разность интегралов от постоянной величины обращается в нуль; исчезает также разность интегралов от поскольку потоки жидкости через переднюю и заднюю плоскости должны быть одинаковыми (расходом жидкости через сечение следа в рассматриваемом приближении пренебрегаем). Далее, отодвигая плоскость достаточно далеко вперед от тела, будем иметь на ней очень малые значения скорости v, так что интегралом от по этой плоскости можно пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обтекаемого крыла скорость вне следа мала по сравнению с Поэтому в интеграле по плоскости можно пренебречь по сравнению с Таким образом, получим:

где интегрирование производится по плоскости , расположенной на большом расстоянии позади тела, причем сечение следа исключается из области интегрирования

Вычисленное таким образом сопротивление хорошо обтекаемого крыла можно выразить через ту же циркуляцию скорости Г, которая определяет и подъемную силу.

Для этого прежде всего заметим, что на достаточно большом расстоянии от тела скорость слабо зависит от координаты и потому можно рассматривать как скорость некоторого двухмерного движения, считая ее не зависящей от вовсе. Удобно ввести в качестве вспомогательной величины функцию тока (§ 10), так что Таким образом,

где интегрирование по вертикальной координате у производится от до и от до — координаты верхней и нижней границ следа; см. рис. 18). Ввиду потенциальности движения вне следа имеем

Применяя к написанному интегралу двухмерную формулу Грина, получаем поэтому:

где интегрирование производится по контуру, огибающему область интегрирования в исходном интеграле — дифференцирование по направлению внешней нормали к контуру). На бесконечности и, следовательно, надо интегрировать по контуру поперечного сечения следа (сечения плоскостью у, z), в результате чего получаем:

Здесь надо интегрировать по ширине следа а стоящая в квадратных скобках разность есть скачок производной при прохождении через след. Замечая, что имеем:

так что

Наконец, воспользуемся известной из теории потенциала формулой

где интегрирование производится по некоторому плоскому контуру, r — расстояние от до точки, в которой разыскивается значение а в квадратных скобках стоит заданный скачок производной от по направлению нормали к контуру.

В нашем случае контуром интегрирования является отрезок оси r, так что для значений функции на оси z можно написать:

Наконец, подставляя это в получим окончательно для индуктивного сопротивления следующую формулу:

(L. Prandtl, 1918). Длина размаха крыла обозначена здесь посредством а начало отсчета выбрано на одном из его концов.

Если увеличить все размеры по оси в некоторое число раз (при неизменных Г), то интеграл (47,4) не изменится. Это показывает, что полное индуктивное сопротивление крыла не изменяется по порядку величины при увеличении его размаха. Другими словами, индуктивное сопротивление, отнесенное к единице длины крыла, падает с увеличением этой длины. В противоположность сопротивлению полная подъемная сила

растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная к единице длины — остается постоянной.

Для фактического вычисления интегралов (47,4) и (47,5) удобен следующий метод. Вместо координаты вводим новую переменную 0 согласно

Распределение же циркуляции задается в виде тригонометрического ряда

Здесь выполнено условие на концах крыла, т. е. при или

Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций получим:

Таким образом, подъемная сила зависит только от первого коэффициента в разложении (47,7). Для коэффициента подъемной силы (46,2) имеем:

где введено отношение размаха крыла к его ширине.

Для вычисления сопротивления перепишем формулу (47,4), произведя в ней однократное интегрирование по частям:

Стоящий здесь интеграл должен быть взят, как легко видеть, в смысле его главного значения.

Элементарное вычисление с подстановкой (47,7) приводит к следующей формуле для коэффициента индуктивного сопротивления:

(47,10)

Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как

относя его, как и коэффициент подъемной силы, к площади крыла в плане.

Задача

Определить минимальное значение индуктивного сопротивления, которое может быть достигнуто при заданных подъемной силе и размахе крыла

Решение. Из формул (47,8) и (47,10) ясно, что минимальное значение при заданном (т. е. заданном ) достигается, если равны нулю все с . При этом

Распределение же циркуляции по размаху крыла дается формулой

Если длина размаха достаточно велика, то движение жидкости вокруг каждого сечения крыла приближенно соответствует плоскому обтеканию бесконечно длинного крыла с таким профилем сечения. В этом случае можно утверждать, что распределение (2) циркуляции осуществляется при эллиптической в плане (в плоскости форме крыла с полуосями и 1/2.

1
Оглавление
email@scask.ru